Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

  1. AFornisce sempre la soluzione ottima
  2. BUsa solo la ricorsione
  3. CCompie la scelta localmente migliore a ogni passo
  4. DProva ogni soluzione possibile
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema della fermata dimostra che:

  1. AOgni programma prima o poi si ferma
  2. BNessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
  3. CI cicli andrebbero evitati
  4. DAlcuni programmi girano più velocemente su computer più veloci, quindi la terminazione dipende dall'hardware
3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

  1. AUn albero binario di ricerca
  2. BUna visita di un grafo
  3. CUna funzione hash
  4. DUna coda di dimensione fissa
4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

  1. AUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
  2. BUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
  3. CUn array ordinato di tutti gli n valori
  4. DUna coda FIFO degli ultimi k valori
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1410781048413ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

C · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma

Perché è questa la risposta

Turing dimostrò che il problema della fermata è indecidibile: supporre che esista un decisore porta a una contraddizione con un programma che fa l'opposto.

Risposta

B · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture dati

Risposta: D · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

D · Una coda di dimensione fissa
4.Strutture dati

Risposta: B · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

B · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 14, C: 10
C (10): E: 20
B (14): D: 22
E (20): F: 24
D (22)
F (24)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 24

Risposta

d(F) = 24

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