Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array in ordine casuale
  2. BUn array con elementi tutti diversi
  3. CUn array di lunghezza 2
  4. DUn array già ordinato
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. A3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
  2. BLa soddisfacibilità dei circuiti
  3. C2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
  4. DSAT generale su formule in forma normale congiuntiva
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A(i − 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  2. BLa radice deve essere rossa
  3. COgni nodo deve essere rosso
  4. DOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 3 partono e terminano in D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

D · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: C · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

C · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: D · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

D · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Un altro passo

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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