Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Circa quanti confronti richiede nel caso peggiore la ricerca binaria su un array ordinato di 1,000,000 di elementi?

  1. ACirca 100
  2. BCirca 1,000
  3. CCirca 20
  4. DCirca 500,000
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'insertion sort richiede O(n) su un input ordinato. Questo contraddice il limite inferiore Ω(n log n) per l'ordinamento per confronti?

  1. ANo, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
  2. BSì, ma solo per array più corti di 100
  3. CNo, perché l'insertion sort non è un ordinamento per confronti
  4. DSì, quindi il limite inferiore è sbagliato
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria utilizza una matrice di adiacenza per un grafo con V vertici?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Strutture datiDifficile

In che modo un radix tree (trie compresso) migliora un trie semplice?

  1. AFonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
  2. BMemorizza ogni parola in una tabella hash alla radice invece che in nodi separati
  3. COrdina i figli di ogni nodo per frequenza
  4. DConserva solo la prima lettera di ogni parola
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
119715755987ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 6; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Circa 20

Perché è questa la risposta

220 ≈ 1,048,576, quindi dopo circa 20 dimezzamenti resta un solo elemento.

Risposta

C · Circa 20
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

Perché è questa la risposta

Il limite dice che ogni ordinamento per confronti richiede circa n log n confronti su qualche input di dimensione n; input particolari possono essere molto più veloci.

Risposta

A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
3.Strutture dati

Risposta: D · O(V²)

Perché è questa la risposta

Una matrice di adiacenza memorizza V × V elementi ed è efficiente per grafi densi; le liste di adiacenza usano O(V + E), meglio per grafi sparsi.

Risposta

D · O(V²)
4.Strutture dati

Risposta: A · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa

Perché è questa la risposta

Comprimere i cammini privi di ramificazioni riduce il numero di nodi e la memoria usata, mantenendo la ricerca per prefisso.

Risposta

A · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 11, C: 9
2. C (9): G: 18
3. B (11): D: 18, G: 16
4. G (16): E: 23
5. D (18): F: 25
6. E (23)
7. F (25)

passo 6

E

Risposta

E

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