Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

  1. AIl costo di un algoritmo sull'input migliore
  2. BIl costo atteso su input casuali
  3. CIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
  4. DIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ADimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  2. BRidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
  3. CDimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  4. DRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture datiMedia

Qual è il costo di inserire un elemento al centro di un array di n elementi?

  1. AO(log n), per via della ricerca binaria
  2. BO(1), perché l'indice è noto
  3. CO(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
  4. DO(n²), perché ogni elemento si sposta n volte
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  2. BValori hash uguali implicano chiavi uguali
  3. CI valori hash devono essere numeri primi
  4. DChiavi diverse devono avere valori hash diversi
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 7 vertici e 13 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 7|E| = 13
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1812112179156ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: C · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati

Perché è questa la risposta

Tutti gli elementi dopo il punto di inserimento si spostano di una posizione a destra, il che richiede un tempo proporzionale a n.

Risposta

C · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
4.Strutture dati

Risposta: A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 7

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

7 − 1 = 6

Lati da togliere

k = 13 − 6 = 7

Risposta

k = 7
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 44

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (2): prendi
BE (6): prendi
DF (9): prendi
BC (11): salta, chiude un ciclo
AC (12): prendi
EF (15): prendi

Peso totale

W = 2 + 6 + 9 + 12 + 15 = 44

Risposta

W = 44

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