Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. AI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  2. BRaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
  3. CLe liste concatenate non si possono ordinare
  4. DLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
3.Strutture datiMedia

Un nodo di un albero binario di ricerca ha un sottoalbero destro. Dove si trova il suo successore in ordine?

  1. ANel suo genitore, sempre
  2. BNel nodo più a destra del suo sottoalbero sinistro
  3. CNel suo figlio destro, sempre
  4. DNel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA scegliere il vertice di partenza
  2. BA ordinare gli archi per peso
  3. CA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
  4. DA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 17 vertici e 26 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 17|E| = 26
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
2017796213181511310ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

A · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

B · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: D · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro

Perché è questa la risposta

Tutte le chiavi maggiori vicine al nodo si trovano nel suo sottoalbero destro, e la più piccola di queste è il nodo più a sinistra di quel sottoalbero.

Risposta

D · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture dati

Risposta: C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

17 − 1 = 16

Lati da togliere

k = 26 − 16 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 48

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DE (2): prendi
GD (3): prendi
CE (6): prendi
BC (7): prendi
BD (9): salta, chiude un ciclo
GE (10): salta, chiude un ciclo
GC (11): salta, chiude un ciclo
DF (13): prendi
GB (15): salta, chiude un ciclo
AC (17): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 6 + 7 + 13 + 17 = 48

Risposta

W = 48

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