Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanti livelli ha la ricorsione del merge sort per un array di n elementi?

  1. ACirca √n
  2. BCirca n / 2
  3. CCirca log₂ n
  4. DCirca n
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale algoritmo trova un albero ricoprente minimo aggiungendo ripetutamente l'arco più economico che non forma un ciclo?

  1. AAlgoritmo di Prim a partire da un nodo
  2. BAlgoritmo di Dijkstra
  3. CAlgoritmo di Kruskal
  4. DFloyd-Warshall
3.Strutture datiMedia

Che cosa succede quando una tabella hash esegue il rehashing dopo che il fattore di carico ha superato una soglia?

  1. ALe chiavi esistenti vengono ordinate sul posto
  2. BSolo le chiavi in collisione vengono spostate in una nuova lista di overflow in fondo alla tabella
  3. CLe chiavi più vecchie vengono eliminate per fare spazio
  4. DSi alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
101342911365710ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(D) del cammino minimo da A a D nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: D
d(D) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Circa log₂ n

Perché è questa la risposta

Dimezzare da n fino a 1 richiede circa log₂ n livelli, e ogni livello svolge O(n) lavoro di fusione, da cui O(n log n).

Risposta

C · Circa log₂ n
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Algoritmo di Kruskal

Perché è questa la risposta

Kruskal ordina gli archi per peso e li aggiunge se collegano componenti diverse; Prim fa crescere un unico albero a partire da un vertice iniziale.

Risposta

C · Algoritmo di Kruskal
3.Strutture dati

Risposta: D · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

Perché è questa la risposta

Poiché l'indice si calcola modulo la dimensione della tabella, tutte le chiavi devono essere ridistribuite nella nuova tabella più grande; raddoppiando la dimensione il costo resta O(1) ammortizzato.

Risposta

D · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
4.Strutture dati

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

C · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vertici dispari

A, B, C, D → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(D) = 14

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 10
B (10): C: 23, D: 14, G: 16
D (14): E: 23, F: 15
F (15)
G (16): C: 21
C (21)
E (23)

Cammino minimo

A → B → D
d(D) = 14

Risposta

d(D) = 14

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