Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

AL'albero ricoprente minimo
BI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
CI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
DUn ordinamento topologico in tutti i grafi

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali due cose bisogna dimostrare per provare che un problema decisionale X è NP-completo?

AX si riduce a un problema in P, e X è in NP
BX è in P, e X si riduce a SAT
CX è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale
DX non ha un algoritmo polinomiale, e X è decidibile

3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

AUn heap
BUna coda
CSolo una tabella hash
DUno stack

4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

APerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
BPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
CPerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
DPer mantenere l'array ordinato

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

L'appartenenza a NP mostra che X non è più difficile di NP; la riduzione da un problema NP-completo noto mostra che X è almeno difficile quanto tutto NP.

Risposta

C · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale

3.Strutture dati

Risposta: D · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

D · Uno stack

4.Strutture dati

Risposta: B · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

B · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vertici dispari

A, B, C, D → 4

nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due

6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 7, C: 9

2. B (7): D: 8, G: 22

3. D (8): G: 11

4. C (9): E: 10

5. E (10): F: 19

6. G (11)

7. F (19)

passo 4

Risposta

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