Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  2. BI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  3. CIl merge sort è già O(n)
  4. DLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la differenza tra un problema indecidibile e uno intrattabile?

  1. APer un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
  2. BI problemi intrattabili non si possono risolvere con alcun algoritmo, mentre quelli indecidibili richiedono solo tempo esponenziale
  3. CEntrambi significano che il problema non ha alcun algoritmo
  4. DI problemi indecidibili sono in NP, mentre quelli intrattabili sono in P
3.Strutture datiMedia

Come si trova la chiave minima in un albero binario di ricerca?

  1. ASi seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
  2. BSi visitano tutte le foglie e le si confronta
  3. CSi guarda solo la radice
  4. DSi seguono i figli destri dalla radice finché non c'è più un figlio destro
4.Strutture datiDifficile

In un buffer circolare, front == rear può significare sia vuoto sia pieno. Qual è un modo comune per distinguere i due casi?

  1. ASvuotare sempre il buffer ogni volta che front è uguale a rear, così lo stato è vuoto
  2. BMantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
  3. CRendere la dimensione del buffer una potenza di due
  4. DMemorizzare front e rear nella stessa variabile
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
913111681418ABCDE

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3; i lati saltati non contano.

k = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

Perché è questa la risposta

Il problema della fermata non ha alcun algoritmo; un problema NP-difficile come il TSP si può risolvere con la forza bruta, solo non in un tempo polinomiale noto.

Risposta

A · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
3.Strutture dati

Risposta: A · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra non ha chiavi minori nell'albero, quindi è il minimo; il costo è proporzionale all'altezza.

Risposta

A · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture dati

Risposta: B · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata

Perché è questa la risposta

Con un contatore, vuoto significa count = 0 e pieno significa count = capacità; con una posizione sempre vuota, pieno si definisce come (rear + 1) mod n == front.

Risposta

B · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. CE (8)
2. AB (9)
3. BC (11)
4. DE (14)

lato numero 3

BC

Risposta

lato BC

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