Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lavoro O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

  1. ASostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
  2. BRimuovendo l'intero sottoalbero
  3. CRicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
  4. DScambiandolo con la radice
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1114581631ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(D) del cammino minimo da A a D nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: D
d(D) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il totale è n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e il numero armonico Hn è Θ(log n).

Risposta

A · O(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: C · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

C · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: A · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

A · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vertici dispari

B, C → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(D) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 14
B (11): D: 19, E: 12
E (12): D: 13, F: 15
D (13)
C (14)
F (15)

Cammino minimo

A → B → E → D
d(D) = 13

Risposta

d(D) = 13

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