Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema dello zaino 0/1 risolto con la programmazione dinamica richiede tempo O(nW). Perché si dice pseudo-polinomiale?

  1. APerché n è sempre piccolo
  2. BPerché l'algoritmo è randomizzato e il suo tempo di esecuzione varia a ogni input
  3. CW è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
  4. DPerché funziona solo per W = 0
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  2. BNon richiedono ribilanciamento
  3. CMemorizzano i dati in modo non ordinato
  4. DIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
12101091221159214ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W

Perché è questa la risposta

Il tempo di esecuzione è polinomiale nel valore di W ma esponenziale nella sua lunghezza (log W bit); lo zaino 0/1 è NP-completo.

Risposta

C · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
3.Strutture dati

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

D · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: D · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

D · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Risposta

L = 11

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: G

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 12, C: 10
2. C (10): G: 19
3. B (12): D: 21
4. G (19): E: 33
5. D (21): F: 23
6. F (23): E: 24
7. E (24)

passo 4

G

Risposta

G

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