Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanto spazio di stack usa una semplice funzione fattoriale ricorsiva fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema della fermata dimostra che:

  1. ANessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
  2. BAlcuni programmi girano più velocemente su computer più veloci, quindi la terminazione dipende dall'hardware
  3. COgni programma prima o poi si ferma
  4. DI cicli andrebbero evitati
3.Strutture datiMedia

In una tabella hash con indirizzamento aperto, qual è il massimo fattore di carico possibile?

  1. A2
  2. B0,5
  3. CNon c'è un massimo
  4. D1
4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

  1. AUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
  2. BLa ricolorazione del nodo e del figlio
  3. CUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
  4. DUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 19 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 19|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
11312232511144ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

La ricorsione arriva a n chiamate di profondità prima di qualsiasi ritorno, e ogni chiamata richiede un record di attivazione (stack frame), quindi usa O(n) spazio.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma

Perché è questa la risposta

Turing dimostrò che il problema della fermata è indecidibile: supporre che esista un decisore porta a una contraddizione con un programma che fa l'opposto.

Risposta

A · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture dati

Risposta: D · 1

Perché è questa la risposta

Con l'indirizzamento aperto tutte le chiavi sono memorizzate nella tabella stessa, quindi n non può superare m; con il concatenamento separato il fattore di carico può essere maggiore di 1.

Risposta

D · 1
4.Strutture dati

Risposta: C · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

C · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 5

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

19 − 1 = 18

Lati da togliere

k = 23 − 18 = 5

Risposta

k = 5
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 3
C (3): E: 6
E (6): D: 8, F: 17, G: 10
D (8): B: 10, F: 13
B (10)
G (10)
F (13)

Cammino minimo

A → C → E → D → F
d(F) = 13

Risposta

d(F) = 13

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