Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
  2. BScegliere per prima l'attività più breve
  3. CScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  4. DScegliere l'attività che inizia prima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

I cammini semplici minimi si possono trovare in tempo polinomiale. Che cosa si sa del trovare il cammino semplice più lungo tra due vertici in un grafo generico?

  1. ASi può risolvere con l'algoritmo di Dijkstra con pesi cambiati di segno
  2. BÈ NP-difficile
  3. CÈ indecidibile
  4. DÈ sempre risolvibile in O(V + E)
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B14
  3. C11
  4. D24
4.Strutture datiDifficile

Un nodo AVL è sbilanciato perché il sottoalbero destro del suo figlio sinistro è diventato troppo alto (caso sinistra-destra). Quale correzione si applica?

  1. AUna rotazione a destra sul figlio sinistro, poi una rotazione a sinistra sul nodo
  2. BUna singola rotazione a sinistra sul nodo
  3. CUna singola rotazione a destra sul nodo
  4. DUna rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
2116319714131517101ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

A · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · È NP-difficile

Perché è questa la risposta

Un cammino semplice più lungo di lunghezza V − 1 è un cammino hamiltoniano, un problema NP-completo; sui grafi orientati aciclici, invece, è risolvibile in tempo lineare.

Risposta

B · È NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: B · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

B · 14
4.Strutture dati

Risposta: D · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo

Perché è questa la risposta

La prima rotazione trasforma il caso sinistra-destra in un caso sinistra-sinistra, che viene poi corretto da una rotazione a destra sul nodo sbilanciato.

Risposta

D · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

GE (1): prendi
AB (2): prendi
BD (3): prendi
BC (6): prendi
DE (7): prendi
GD (10): salta, chiude un ciclo
AC (11): salta, chiude un ciclo
EF (13): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 13 = 32

Risposta

W = 32

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