Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

AO(n²)
BO(d(n + k))
CO(n log n)
DO(dn log k)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di programmazione dinamica di Held–Karp risolve esattamente il problema del commesso viaggiatore. Qual è il suo tempo di esecuzione per n città?

AO(2^n²)
BO(n² 2ⁿ)
CO(n³)
DO(n!)

3.Strutture datiMedia

Una coda è implementata con due pile: push su una pila «in» e pop da una pila «out», che viene riempita da «in» quando è vuota. Qual è il costo ammortizzato per operazione?

AO(n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(1)

4.Strutture datiDifficile

Un filtro di Bloom può rispondere alla domanda «questo elemento è nell'insieme?» con:

ARisposte solo per numeri
BPossibili falsi positivi ma nessun falso negativo
CPossibili falsi negativi ma nessun falso positivo
DRisposte sempre esatte

5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K₄? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K₄

H =

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice A. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Ak = 2

1lato AB
2lato AC
3lato BC
4lato BD
5lato CE
6lato DE
7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

B · O(d(n + k))

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n² 2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Ci sono circa n 2ⁿ stati, ciascuno calcolato in O(n); è esponenziale ma molto più veloce che provare tutti gli (n − 1)! giri.

Risposta

B · O(n² 2ⁿ)

3.Strutture dati

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni elemento subisce in totale al massimo due push e due pop, quindi anche se un singolo riempimento può costare O(n), la media su una sequenza è O(1).

Risposta

D · O(1)

4.Strutture dati

Risposta: B · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

Perché è questa la risposta

Se uno qualsiasi dei bit di un elemento è 0, l'elemento è sicuramente assente; se sono tutti 1, è probabilmente presente. I filtri di Bloom sacrificano la precisione in cambio di pochissima memoria.

Risposta

B · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BD

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AB (1)

2. BD (8)

3. AC (10)

4. DE (13)

lato numero 2

Risposta

lato BD

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