Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali sono i costi in tempo e spazio del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con un ciclo che conserva solo gli ultimi due valori?

  1. ATempo O(n) e spazio O(n)
  2. BTempo O(2ⁿ) e spazio O(1)
  3. CTempo O(log n) e spazio O(n)
  4. DTempo O(n) e spazio O(1)
3.Strutture datiMedia

Una tabella hash di dimensione 7 usa h(k) = k mod 7 e la scansione lineare. Dopo aver inserito 10, dove viene memorizzato 17?

  1. AAll'indice 0
  2. BAll'indice 3
  3. CAll'indice 6
  4. DAll'indice 4
4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

  1. APorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
  2. BSposta il nodo acceduto in una foglia
  3. CRicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
  4. DRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

B · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Tempo O(n) e spazio O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni passo richiede solo i due valori precedenti, quindi la tabella del metodo bottom-up può essere sostituita da due variabili.

Risposta

D · Tempo O(n) e spazio O(1)
3.Strutture dati

Risposta: D · All'indice 4

Perché è questa la risposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; l'indice 3 è occupato, quindi la scansione lineare prova la posizione successiva, l'indice 4.

Risposta

D · All'indice 4
4.Strutture dati

Risposta: A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vicini comuni

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Risposta

N = 1

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