Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

AScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
BScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
CScegliere per prima l'attività più breve
DScegliere l'attività che inizia prima

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

AAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
BSempre una copertura dei vertici minima
CDi qualità ignota rispetto all'ottimo
DAl massimo log n volte il minimo

3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

AUna tabella hash
BUn albero binario di ricerca bilanciato
CUna pila
DUna lista concatenata non ordinata

4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

ARicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
BRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata
CPorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
DSposta il nodo acceduto in una foglia

5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 42 × deg 53 × deg 2

L =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

3.Strutture dati

Risposta: B · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

B · Un albero binario di ricerca bilanciato

4.Strutture dati

Risposta: C · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

C · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 20

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 44 = 2(L + 13) − 2

L = 20

Risposta

L = 20

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 26

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 14

B (14): C: 22, D: 24, G: 27

C (22)

D (24): E: 33, F: 26, G: 25

G (25)

F (26)

E (33)

Cammino minimo

A → B → D → F

d(F) = 26

Risposta

d(F) = 26

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