Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Strutture datiMedia

Gli alberi AVL e gli alberi rosso-neri garantiscono:

  1. AUna ricerca in tempo costante in ogni caso
  2. BChe nessun nodo abbia due figli
  3. CUn'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
  4. DChe le chiavi siano memorizzate in ordine di inserimento
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. AOgni nodo memorizza una sola chiave
  2. BTutte le foglie sono alla stessa profondità
  3. CLe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  4. DOgni nodo ha esattamente due figli
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 14 vertici e 21 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
196191038421811ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

A · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

A · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: C · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

Perché è questa la risposta

Gli alberi autobilancianti mantengono un'altezza logaritmica, quindi ricerca, inserimento e cancellazione sono O(log n) nel caso peggiore.

Risposta

C · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
4.Strutture dati

Risposta: B · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

B · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

14 − 1 = 13

Lati da togliere

k = 21 − 13 = 8

Risposta

k = 8
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 25

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BC (1): prendi
GB (2): prendi
DE (3): prendi
EF (4): prendi
AC (6): prendi
DF (8): salta, chiude un ciclo
BD (9): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 25

Risposta

W = 25

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