Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  2. BUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
  3. CI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  4. DUn ordinamento topologico in O(V²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione su P e NP è corretta?

  1. ANP significa «non polinomiale»
  2. BLe soluzioni dei problemi NP non possono essere verificate rapidamente
  3. COgni problema in P appartiene anche a NP
  4. DÈ stato dimostrato che P ≠ NP
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUna pila di tutti gli archi visitati
  2. BUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
  3. CUn max-heap ordinato per grado uscente
  4. DUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
2811361217147ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

A · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ogni problema in P appartiene anche a NP

Perché è questa la risposta

P ⊆ NP: se puoi risolvere un problema rapidamente, puoi verificarne rapidamente una soluzione. Se P = NP è ancora una questione aperta.

Risposta

C · Ogni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

A · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: B · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

B · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Vertici dispari

B, C, E, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (2): prendi
BD (3): prendi
CE (6): prendi
BE (7): prendi
AC (8): salta, chiude un ciclo
BC (11): salta, chiude un ciclo
DE (12): salta, chiude un ciclo
EF (14): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 6 + 7 + 14 = 32

Risposta

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms