Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanti livelli ha la ricorsione del merge sort per un array di n elementi?

  1. ACirca n
  2. BCirca n / 2
  3. CCirca log₂ n
  4. DCirca √n
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. ATutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  2. BIl problema della fermata diventerebbe decidibile
  3. CSolo quel problema passerebbe in P
  4. DOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture datiMedia

Hai un riferimento a un nodo a metà di una lista. In quale lista puoi rimuoverlo in O(1)?

  1. AUn array ordinato
  2. BUna lista doppiamente concatenata
  3. CUn array dinamico
  4. DUna lista concatenata semplice
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A40
  2. B80
  3. C70
  4. D60
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
871141113135ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Circa log₂ n

Perché è questa la risposta

Dimezzare da n fino a 1 richiede circa log₂ n livelli, e ogni livello svolge O(n) lavoro di fusione, da cui O(n log n).

Risposta

C · Circa log₂ n
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

D · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: B · Una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

Un nodo doppiamente concatenato conosce il suo predecessore, quindi si possono ricollegare direttamente prev e next; in una lista concatenata semplice occorre cercare il predecessore.

Risposta

B · Una lista doppiamente concatenata
4.Strutture dati

Risposta: D · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

D · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8, C: 7
2. C (7): E: 11
3. B (8)
4. E (11): D: 22, F: 24
5. D (22)
6. F (24)

passo 4

E

Risposta

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms