Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Circa quanti confronti richiede nel caso peggiore la ricerca binaria su un array ordinato di 1,000,000 di elementi?

  1. ACirca 100
  2. BCirca 500,000
  3. CCirca 1,000
  4. DCirca 20
2.Algoritmi e complessitàDifficile

I cammini semplici minimi si possono trovare in tempo polinomiale. Che cosa si sa del trovare il cammino semplice più lungo tra due vertici in un grafo generico?

  1. ASi può risolvere con l'algoritmo di Dijkstra con pesi cambiati di segno
  2. BÈ sempre risolvibile in O(V + E)
  3. CÈ indecidibile
  4. DÈ NP-difficile
3.Strutture datiMedia

Quanti nodi ha un albero binario perfetto di altezza h, con l'altezza contata in archi?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Strutture datiDifficile

Quale garanzia danno le regole degli alberi rosso-neri sull'altezza di un albero con n chiavi?

  1. AL'altezza è al massimo n / 2
  2. BL'altezza è esattamente log2 n
  3. CL'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)
  4. DL'altezza è al massimo log2 n + 1
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 3
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1820191271415178ABCDEFG

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 6; i lati saltati non contano.

k = 6
  1. 1lato AC
  2. 2lato BD
  3. 3lato CE
  4. 4lato DE
  5. 5lato DF
  6. 6lato EF
  7. 7lato GC
  8. 8lato GD
  9. 9lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Circa 20

Perché è questa la risposta

220 ≈ 1,048,576, quindi dopo circa 20 dimezzamenti resta un solo elemento.

Risposta

D · Circa 20
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · È NP-difficile

Perché è questa la risposta

Un cammino semplice più lungo di lunghezza V − 1 è un cammino hamiltoniano, un problema NP-completo; sui grafi orientati aciclici, invece, è risolvibile in tempo lineare.

Risposta

D · È NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: A · 2h+1 − 1

Perché è questa la risposta

La somma 1 + 2 + 4 + ... + 2h dà 2h+1 − 1; per esempio, l'altezza 2 dà 7 nodi.

Risposta

A · 2h+1 − 1
4.Strutture dati

Risposta: C · L'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)

Perché è questa la risposta

Ogni cammino ha lo stesso numero di nodi neri e i nodi rossi non possono essere adiacenti, quindi il cammino più lungo è al massimo il doppio del più corto, il che dà un'altezza O(log n).

Risposta

C · L'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Risposta

L = 4

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BD

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. DF (7)
2. GE (8)
3. DE (12)
4. GC (15)
5. AC (18)
6. BD (20)

lato numero 6

BD

Risposta

lato BD

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