Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. AVisita in profondità (DFS)
  2. BAlgoritmo di Kruskal
  3. CAlgoritmo di Dijkstra
  4. DBellman-Ford è necessario in tutti i casi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. ALe chiavi devono prima essere ordinate
  2. BMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  3. CLe funzioni hash sono lente
  4. DGli array hanno accesso O(n)
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA memorizzare il numero di elementi
  2. BA rendere la lista ordinata
  3. CA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  4. DA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture datiDifficile

La struttura union-find (insiemi disgiunti) con unione per rango e compressione dei cammini ha un costo ammortizzato per operazione di:

  1. AO(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DEsattamente O(log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 8 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 8
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1318101731619ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

C · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: A · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante

Perché è questa la risposta

Con entrambe le ottimizzazioni, le operazioni richiedono un tempo ammortizzato O(α(n)); α(n) ≤ 4 per qualsiasi n realistico.

Risposta

A · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 8 − 5 = 3

Risposta

k = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 42

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DF (1): prendi
CE (3): prendi
BE (9): prendi
BC (10): salta, chiude un ciclo
AB (13): prendi
DE (16): prendi

Peso totale

W = 1 + 3 + 9 + 13 + 16 = 42

Risposta

W = 42

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