Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale ammortizzata dell'aggiunta in coda a un array dinamico che raddoppia la capacità quando è pieno?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale della costruzione di un heap binario da n elementi non ordinati con il metodo bottom-up?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Strutture datiMedia

Un nodo di un albero binario di ricerca ha un sottoalbero destro. Dove si trova il suo successore in ordine?

  1. ANel nodo più a destra del suo sottoalbero sinistro
  2. BNel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
  3. CNel suo figlio destro, sempre
  4. DNel suo genitore, sempre
4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

  1. ALa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
  2. BLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
  3. CNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
  4. DLa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
14271334610ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(1)

Perché è questa la risposta

La copia di tutti gli elementi avviene solo alle potenze di due; distribuito su tutte le aggiunte, il costo medio per aggiunta è costante.

Risposta

C · O(1)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Sommando i costi di discesa (sift-down) su tutti i livelli si ottiene una serie convergente, quindi heapify viene eseguito in tempo lineare.

Risposta

D · O(n)
3.Strutture dati

Risposta: B · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro

Perché è questa la risposta

Tutte le chiavi maggiori vicine al nodo si trovano nel suo sottoalbero destro, e la più piccola di queste è il nodo più a sinistra di quel sottoalbero.

Risposta

B · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture dati

Risposta: D · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

D · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 21

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 14, C: 2
C (2): E: 15
B (14): D: 21
E (15): D: 18, F: 21
D (18)
F (21)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 21

Risposta

d(F) = 21

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