Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

  1. ADi qualità ignota rispetto all'ottimo
  2. BAl massimo log n volte il minimo
  3. CSempre una copertura dei vertici minima
  4. DAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

  1. AUn albero binario di ricerca
  2. BUna tabella hash
  3. CUna coda
  4. DUna pila
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α), dove α = n / m
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da C a E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

D · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture dati

Risposta: D · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

D · Una pila
4.Strutture dati

Risposta: C · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

C · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 7

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un altro passo

(M³)CE = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 2·1 + 1·0 = 7

Risposta

N = 7

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