Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  2. BL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
  3. CL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
  4. DL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

22n è in O(2ⁿ)?

  1. ANo, perché 22n cresce più lentamente di 2ⁿ
  2. BSì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
  3. CSì, perché sono entrambi esponenziali
  4. DNo, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

  1. AUna pila
  2. BUna lista concatenata non ordinata
  3. CUna tabella hash
  4. DUn albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture datiDifficile

La complessità temporale di decrease-key in un heap binario (nota la posizione dell'elemento) è:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
20121119910ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice B. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Bk = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

D · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture dati

Risposta: D · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

D · Un albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture dati

Risposta: B · O(log n)

Perché è questa la risposta

Dopo aver diminuito la chiave, l'elemento risale (sift-up) al massimo per l'altezza dell'heap. Gli heap di Fibonacci ottengono decrease-key in O(1) ammortizzato.

Risposta

B · O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. BC (2)
2. AC (1)
3. BE (10)
4. DE (9)

lato numero 2

AC

Risposta

lato AC

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