Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort è già O(n)
  2. BI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³)
  4. DO((V + E) log V)
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA memorizzare il numero di elementi
  2. BA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
  3. CA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  4. DA rendere la lista ordinata
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(1 + α), dove α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
8414652139ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

D · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: B · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

B · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: A · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

A · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

A, B, C, E → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8
2. B (8): C: 12, D: 22, E: 17
3. C (12)
4. E (17): F: 30
5. D (22): F: 24
6. F (24)

passo 3

C

Risposta

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms