Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  2. BI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  3. CUn ordinamento topologico in O(V²)
  4. DUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  2. BUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  3. CLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  4. DOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

  1. AUna coda di dimensione fissa
  2. BUn albero binario di ricerca
  3. CUna visita di un grafo
  4. DUna funzione hash
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. ALa radice deve essere rossa
  2. BOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  3. COgni nodo deve essere rosso
  4. DOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

B · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: A · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

A · Una coda di dimensione fissa
4.Strutture dati

Risposta: B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vertici dispari

B, C, D, E, F, G → 6
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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