Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array in ordine casuale
  2. BUn array con elementi tutti diversi
  3. CUn array già ordinato
  4. DUn array di lunghezza 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema dello zaino 0/1 risolto con la programmazione dinamica richiede tempo O(nW). Perché si dice pseudo-polinomiale?

  1. APerché l'algoritmo è randomizzato e il suo tempo di esecuzione varia a ogni input
  2. BPerché funziona solo per W = 0
  3. CW è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
  4. DPerché n è sempre piccolo
3.Strutture datiMedia

In una tabella hash con indirizzamento aperto, qual è il massimo fattore di carico possibile?

  1. A1
  2. B0,5
  3. C2
  4. DNon c'è un massimo
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA ordinare gli archi per peso
  2. BA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
  3. CA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
  4. DA scegliere il vertice di partenza
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
8141119176927ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

C · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W

Perché è questa la risposta

Il tempo di esecuzione è polinomiale nel valore di W ma esponenziale nella sua lunghezza (log W bit); lo zaino 0/1 è NP-completo.

Risposta

C · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
3.Strutture dati

Risposta: A · 1

Perché è questa la risposta

Con l'indirizzamento aperto tutte le chiavi sono memorizzate nella tabella stessa, quindi n non può superare m; con il concatenamento separato il fattore di carico può essere maggiore di 1.

Risposta

A · 1
4.Strutture dati

Risposta: C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 18

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

Risposta

L = 18

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 46

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

GD (2): prendi
EF (6): prendi
GE (7): prendi
AB (8): prendi
GC (9): prendi
CE (11): salta, chiude un ciclo
AC (14): prendi

Peso totale

W = 2 + 6 + 7 + 8 + 9 + 14 = 46

Risposta

W = 46

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