Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 23 °C. Dopo 27 min la sua temperatura è 20 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(27) = 20 °C

k = min⁻¹

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 3y/x = 4x per x > 0, con y(1) = 4. Trova y(3).

y′ + 3y/x = 4xy(1) = 4

y(3) =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x in radianti).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

4.IntegraliDifficile

Calcola I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = (4x + 5)³. Trova f′(0).

f(x) = (4x + 5)³x = 0

f′(0) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 15x² + 63x − 3. Trova l'ascissa x del minimo locale.

f(x) = x³ − 15x² + 63x − 3

x =

7.Metodi numericiMedia

La regola dei trapezi è usata per ∫₀² x³ dx. L’errore è al più (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| su [0, 2]. Trova il numero minimo di strisce n che garantisce un errore inferiore a 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

8.Metodi numericiDifficile

Risolvi y′ = 2y, y(0) = 0,5 con il metodo di Eulero e passo h = 0,5 fino a t = 2. La soluzione esatta è y = y₀e^2t. Trova l’errore globale |E| = |y(2) − y₄|.

y′ = 2yy(0) = 0,5h = 0,5

|E| =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,06424 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−27k = -3/-17

Risolvi per k

k = ln(-17/-3)/27 = 0,06424 min⁻¹

Risposta

k = 0,06424 min⁻¹

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(3) = 7,319

Fattore integrante

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integra

(x³y)′ = 4x⁴ → x³y = 4x⁵/5 + C

Condizione iniziale

4 = 4/5 + C → C = 3,2

Calcola

y(3) = (4·3⁵/5 + 3,2)/3³ = 7,319

Risposta

y(3) = 7,319

3.Integrali

Risposta: I = 0,4069

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limiti

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Risposta

I = 0,4069

4.Integrali

Risposta: I = 0,7183

Primo passaggio

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Secondo passaggio

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limiti

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Risposta

I = 0,7183

5.Derivate

Risposta: f′(0) = 300

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena

f′(x) = 3·(4x + 5)²·4

Sostituisci

f′(0) = 3·5²·4 = 300

Risposta

f′(0) = 300

6.Derivate

Risposta: x = 7

Derivata

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

Risolvi f′(x) = 0

x = 3 oppure x = 7

Qual è quale

f″(x) = 6x − 30: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 7

Risposta

x = 7

7.Metodi numerici

Risposta: n = 283

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Maggiorazione della derivata seconda

M = 6·2 = 12

Ricava n

n² > 8·12/(12·0,0001) = 80000

n > 282,8 → n = 283

Risposta

n = 283

8.Metodi numerici

Risposta: |E| = 19,3

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₄ = 8

Valore esatto

y(2) = 27,299075

Errore globale

|E| = |27,299075 − 8| = 19,3

Grafico

Risposta

|E| = 19,3

Dimezzare h dimezza all’incirca l’errore del metodo di Eulero.

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