Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 4y′ + 4y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 4. Trova y(1).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(1) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 4y′ + 13y = 65 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 1 − x² e l'asse x.

y = 1 − x²

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·sin(x), con x in radianti. Trova f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ + 1,5x² − 6x + 2. Trova l'ascissa x del massimo locale.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x + 2

x =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₀² 1/(1 + x³) dx con la regola di Simpson usando n = 6 strisce. Dai S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

8.Metodi numericiDifficile

Usa il metodo di Heun (Eulero migliorato) con h = 0,5 per y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, per stimare y₂ ≈ y(1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5

y₂ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(1) = 0,9473

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radice doppia

(r + 2)² = 0 → r = −2

Costanti

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = 4 + 2 = 6

Calcola

y(1) = (1 + 6·1)·e⁻² = 0,9473

Risposta

y(1) = 0,9473

2.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 5,616

Valore a regime e radici

y_ss = 5, r = −2 ± 3j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −3,333

Picco

t = π/3 = 1,047

y_max = 5·(1 + e^−2·π/3) = 5,616

Risposta

y_max = 5,616

3.Integrali

Risposta: I = 3,75

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Sostituzione

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Integra e valuta

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Risposta

I = 3,75

4.Integrali

Risposta: A = 1,333

Zeri

1 − x² = 0 → x = ±1

Integra

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Risposta

A = 1,333

5.Derivate

Risposta: f′(2) = 0,077

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto e della catena

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Sostituisci

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Risposta

f′(2) = 0,077

6.Derivate

Risposta: x = −2

Derivata

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Risolvi f′(x) = 0

x = −2 oppure x = 1

Qual è quale

f″(x) = 6x + 3: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

Risposta

x = −2

7.Metodi numerici

Risposta: S = 1,091

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Nodi e valori

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,964286 + 2·0,771429 + 4·0,5 + 2·0,296703 + 4·0,177632 + 0,111111 = 9,815044

Regola di Simpson

S = (0,3333/3)·9,815044 = 1,091

Risposta

S = 1,091

Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.

8.Metodi numerici

Risposta: y₂ = 1,99

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Heun

y₁ = 0,5 + (0,5/2)(1 + 1,479426) = 1,119856

y₂ = 1,119856 + (0,5/2)(1,531125 + 1,950913) = 1,990366

Grafico

y₂ = 1,99

Risposta

y₂ = 1,99

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