Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 8y′ + 16y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = -2. Trova y(1).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = -2

y(1) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 4y′ + 29y = 58 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = ln(3x² + 4). Trova f′(2).

f(x) = ln(3x² + 4)x = 2

f′(2) =

6.DerivateDifficile

La retta tangente a f(x) = x² + 4x − 1 in x = 3 interseca l'asse y in y = b. Trova b.

f(x) = x² + 4x − 1x = 3

b =

7.Metodi numericiMedia

La velocità di un veicolo è misurata ogni 1 s (tabella). Stima lo spazio s percorso da t = 0 a t = 6 s con la regola dei trapezi.

h = 1 sn = 6

s = m

8.Metodi numericiDifficile

Usa il metodo di Heun (Eulero migliorato) con h = 0,1 per y′ = e^−ty, y(0) = 1, per stimare y₂ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,1

y₂ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(1) = 0,05495

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radice doppia

(r + 4)² = 0 → r = −4

Costanti

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 4A → B = -2 + 4 = 2

Calcola

y(1) = (1 + 2·1)·e⁻⁴ = 0,05495

Risposta

y(1) = 0,05495

2.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 2,569

Valore a regime e radici

y_ss = 2, r = −2 ± 5j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0,8

Picco

t = π/5 = 0,6283

y_max = 2·(1 + e^−2·π/5) = 2,569

Risposta

y_max = 2,569

3.Integrali

Risposta: I = 26,8

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = e^2x/2

Valuta agli estremi

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Risposta

I = 26,8

4.Integrali

Risposta: A = 10,67

Zeri

4 − x² = 0 → x = ±2

Integra

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Risposta

A = 10,67

5.Derivate

Risposta: f′(2) = 0,75

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena per il logaritmo

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Sostituisci

f′(2) = 12/16 = 0,75

Risposta

f′(2) = 0,75

6.Derivate

Risposta: b = −10

Punto e pendenza

f(3) = 20

f′(x) = 2x + 4 → f′(3) = 10

Retta tangente in x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 20 − 10·3 = −10

Risposta

b = −10

7.Metodi numerici

Risposta: s = 49 m

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Somma pesata

3 + 2·7 + 2·5 + 2·11 + 2·10 + 2·10 + 9 = 98

Regola dei trapezi

s = (1/2)·98 = 49 m

Risposta

s = 49 m

8.Metodi numerici

Risposta: y₂ = 1,179

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Heun

y₁ = 1 + (0,1/2)(1 + 0,895834) = 1,094792

y₂ = 1,094792 + (0,1/2)(0,896301 + 0,789083) = 1,179061

Grafico

y₂ = 1,179

Risposta

y₂ = 1,179

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