Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 5y′ + 4y = 0 con y(0) = 2 e y′(0) = 0. Trova y(0,5).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 2y′ + 17y = 34 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(0,5); angoli in radianti.

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₁⁵ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = 2x² e y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·sin(x), con x in radianti. Trova f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3. Trova l'ascissa x del minimo locale.

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3

x =

7.Metodi numericiMedia

La regola dei trapezi è usata per ∫₀¹ sin x dx. L’errore è al più (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| su [0, 1]. Trova il numero minimo di strisce n che garantisce un errore inferiore a 0,001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,001

n =

8.Metodi numericiDifficile

Usa il metodo di Eulero con h = 0,5 per y′ = t − y, y(0) = 2, per stimare y₃ ≈ y(1,5).

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,5

y₃ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(0.5) = 1,527

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radici caratteristiche

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Costanti dai valori iniziali

A + B = 2, −1A − 4B = 0

A = 2,667, B = −0,6667

Calcola

y(0,5) = 2,667·e^−0,5 + (−0,6667)·e⁻² = 1,527

Risposta

y(0,5) = 1,527

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(0.5) = 2,229

Valore a regime e radici

y_ss = 2, r = −1 ± 4j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0,5

Calcola

y(0,5) = 2·(1 − e^−0,5(cos 2 + 0,25·sin 2)) = 2,229

Risposta

y(0,5) = 2,229

3.Integrali

Risposta: I = 4,828

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = 3·ln x

Valuta agli estremi

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Risposta

I = 4,828

4.Integrali

Risposta: A = 0,3333

Punti di intersezione

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Integra superiore meno inferiore

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Risposta

A = 0,3333

5.Derivate

Risposta: f′(1) = 1,382

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto e della catena

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Sostituisci

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Risposta

f′(1) = 1,382

6.Derivate

Risposta: x = 3

Derivata

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

Risolvi f′(x) = 0

x = −1 oppure x = 3

Qual è quale

f″(x) = 6x − 6: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

Risposta

x = 3

7.Metodi numerici

Risposta: n = 9

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Maggiorazione della derivata seconda

M = sin 1 = 0,8415

Ricava n

n² > 1·0,8415/(12·0,001) = 70,12

n > 8,374 → n = 9

Risposta

n = 9

8.Metodi numerici

Risposta: y₃ = 0,875

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₁ = 2 + 0,5·(−2) = 1

y₂ = 1 + 0,5·(−0,5) = 0,75

y₃ = 0,75 + 0,5·(0,25) = 0,875

Grafico

y₃ = 0,875

Risposta

y₃ = 0,875

Il valore esatto è y(1,5) = 1,16939.

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