Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 5y′ + 6y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 0. Trova y(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = 0,5x² e y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = (3x + 5)³. Trova f′(0).

f(x) = (3x + 5)³x = 0

f′(0) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ + 7,5x² + 12x − 6. Trova l'ascissa x del minimo locale.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x − 6

x =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx con la regola di Simpson usando n = 6 strisce. Dai S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

S =

8.Metodi numericiDifficile

Usa il metodo di Eulero con h = 0,1 per y′ = −2ty, y(0) = 2, per stimare y₄ ≈ y(0,4).

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,1

y₄ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(0.5) = 1,972

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radici caratteristiche

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Costanti dai valori iniziali

A + B = 3, −2A − 3B = 0

A = 9, B = −6

Calcola

y(0,5) = 9·e⁻¹ + (−6)·e^−1,5 = 1,972

Risposta

y(0,5) = 1,972

2.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 1,308

Valore a regime e radici

y_ss = 1, r = −1,5 ± 4j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 4B = 0 → B = −0,375

Picco

t = π/4 = 0,7854

y_max = 1·(1 + e^−1,5·π/4) = 1,308

Risposta

y_max = 1,308

3.Integrali

Risposta: I = 1,718

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = e^x/1

Valuta agli estremi

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Risposta

I = 1,718

4.Integrali

Risposta: A = 18

Punti di intersezione

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Integra superiore meno inferiore

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Risposta

A = 18

5.Derivate

Risposta: f′(0) = 225

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena

f′(x) = 3·(3x + 5)²·3

Sostituisci

f′(0) = 3·5²·3 = 225

Risposta

f′(0) = 225

6.Derivate

Risposta: x = −1

Derivata

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Risolvi f′(x) = 0

x = −4 oppure x = −1

Qual è quale

f″(x) = 6x + 15: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Risposta

x = −1

7.Metodi numerici

Risposta: S = 1,009

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Nodi e valori

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,984615 + 2·0,888889 + 4·0,703297 + 2·0,5 + 4·0,338624 + 0,228571 = 12,112495

Regola di Simpson

S = (0,25/3)·12,112495 = 1,009

Risposta

S = 1,009

Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.

8.Metodi numerici

Risposta: y₄ = 1,769

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₁ = 2 + 0,1·(0) = 2

y₂ = 2 + 0,1·(−0,4) = 1,96

y₃ = 1,96 + 0,1·(−0,784) = 1,8816

y₄ = 1,8816 + 0,1·(−1,12896) = 1,768704

Grafico

y₄ = 1,769

Risposta

y₄ = 1,769

Il valore esatto è y(0,4) = 1,704288.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations