Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Un pezzo d’acciaio forgiato a 460 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 23 °C. Dopo 15 min la sua temperatura è 229 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 391 °C?

T₀ = 460 °CT_a = 23 °CT(15) = 229 °CT = 391 °C

t = min

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un serbatoio contiene 100 L di acqua pura. Una salamoia con 0,05 kg di sale per litro entra a 2 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Dopo quanti minuti t il serbatoio contiene 3 kg di sale?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₂⁸ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 8]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = ln(x² + 4). Trova f′(−2).

f(x) = ln(x² + 4)x = −2

f′(−2) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 3x − 4. Trova l'ascissa x del massimo locale.

f(x) = x³ − 3x − 4

x =

7.Metodi numericiMedia

La regola dei trapezi è usata per ∫₀² x³ dx. L’errore è al più (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| su [0, 2]. Trova il numero minimo di strisce n che garantisce un errore inferiore a 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Metodi numericiDifficile

Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 per y′ = t² + y², y(0) = 1. Trova y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,5

y₁ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: t = 3,428 min

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Costante di raffreddamento

k = ln(437/206)/15 = 0,05014 min⁻¹

Tempo per raggiungere la temperatura desiderata

t = ln(437/368)/0,05014 = 3,428 min

Risposta

t = 3,428 min

2.Equazioni differenziali

Risposta: t = 45,81 min

Risultato

m(t) = 5 + (−5)·e^−t/50

Risolvi per t

e^−t/50 = (5 − 3)/(5 − 0) = 0,4

t = 50·ln(2,5) = 45,81 min

Risposta

t = 45,81 min

3.Integrali

Risposta: I = 5,545

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = 4·ln x

Valuta agli estremi

I = 4·(ln 8 − ln 2) = 4·ln 4 = 5,545

Risposta

I = 5,545

4.Integrali

Risposta: A = 10,67

Punti di intersezione

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integra superiore meno inferiore

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Risposta

A = 10,67

5.Derivate

Risposta: f′(−2) = −0,5

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena per il logaritmo

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Sostituisci

f′(−2) = −4/8 = −0,5

Risposta

f′(−2) = −0,5

6.Derivate

Risposta: x = −1

Derivata

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Risolvi f′(x) = 0

x = −1 oppure x = 1

Qual è quale

f″(x) = 6x: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Risposta

x = −1

7.Metodi numerici

Risposta: n = 895

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Maggiorazione della derivata seconda

M = 6·2 = 12

Ricava n

n² > 8·12/(12·1 × 10⁻⁵) = 800000

n > 894,4 → n = 895

Risposta

n = 895

8.Metodi numerici

Risposta: y₁ = 2,055

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Quattro pendenze

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,25, 1,25) = 1,625

k₃ = f(0,25, 1,40625) = 2,040039

k₄ = f(0,5, 2,02002) = 4,330479

Combina

y₁ = 1 + (0,5/6)(1 + 2·1,625 + 2·2,040039 + 4,330479) = 2,055

Risposta

y₁ = 2,055

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