Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Una lattina di bibita a 5 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 23 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,05 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 13 min.
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 2y/x = 2 per x > 0, con y(1) = 4. Trova y(3).
Calcola I = ∫₁5 x·ln x dx.
Trova l'area A della regione tra la parabola y = 1 − x² e l'asse x.
Sia f(x) = x·sin(2x), con x in radianti. Trova f′(1,5).
La retta tangente a f(x) = 2x2 + x + 2 in x = 3 interseca l'asse y in y = b. Trova b.
Approssima ∫01,5 1/(1 + x³) dx con la regola di Simpson usando n = 2 strisce. Dai S.
Usa il metodo di Eulero con h = 0,25 per y′ = cos t − y, y(0) = 1, per stimare y3 ≈ y(0,75).
Risposta: T = 13,6 °C
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: y(3) = 2,37
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: I = 14,12
Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.
Risposta: A = 1,333
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: f′(1.5) = −2,829
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: b = −16
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: S = 1,01
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
Risposta: y3 = 0,9636
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
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