Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 8y′ + 15y = 0 con y(0) = 5 e y′(0) = 4. Trova y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1.5) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Un sistema obbedisce a y″ + 2y′ + 17y = 85 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco y_max della sua risposta al gradino.

y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₀³ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 3]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = 0,5x² e y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = (−2x − 3)⁵. Trova f′(−1).

f(x) = (−2x − 3)⁵x = −1

f′(−1) =

6.DerivateDifficile

La retta tangente a f(x) = 2x² + 3x in x = 2 interseca l'asse y in y = b. Trova b.

f(x) = 2x² + 3xx = 2

b =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₀² e^−x² dx con la regola dei trapezi usando n = 6 strisce. Dai T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 2]n = 6

T =

8.Metodi numericiDifficile

Risolvi y′ = −2ty, y(0) = −1 con il metodo di Eulero e passo h = 0,25 fino a t = 0,75. La soluzione esatta è y = y₀e^−t². Trova l’errore globale |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,25

|E| =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(1.5) = 0,1558

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radici caratteristiche

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Costanti dai valori iniziali

A + B = 5, −3A − 5B = 4

A = 14,5, B = −9,5

Calcola

y(1,5) = 14,5·e^−4,5 + (−9,5)·e^−7,5 = 0,1558

Risposta

y(1,5) = 0,1558

2.Equazioni differenziali

Risposta: y_max = 7,28

Valore a regime e radici

y_ss = 5, r = −1 ± 4j

Costanti dai valori iniziali

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −1,25

Picco

t = π/4 = 0,7854

y_max = 5·(1 + e^−1·π/4) = 7,28

Risposta

y_max = 7,28

3.Integrali

Risposta: I = 19,09

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = e^x/1

Valuta agli estremi

I = (e³ − 1)/1 = (20,09 − 1)/1 = 19,09

Risposta

I = 19,09

4.Integrali

Risposta: A = 0,6667

Punti di intersezione

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Integra superiore meno inferiore

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Risposta

A = 0,6667

5.Derivate

Risposta: f′(−1) = −10

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena

f′(x) = 5·(−2x − 3)⁴·(−2)

Sostituisci

f′(−1) = 5·(−1)⁴·(−2) = −10

Risposta

f′(−1) = −10

6.Derivate

Risposta: b = −8

Punto e pendenza

f(2) = 14

f′(x) = 4x + 3 → f′(2) = 11

Retta tangente in x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 14 − 11·2 = −8

Risposta

b = −8

7.Metodi numerici

Risposta: T = 0,8814

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Nodi e valori

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,894839 + 2·0,64118 + 2·0,367879 + 2·0,169013 + 2·0,0621765 + 0,0183156 = 5,288494

Regola dei trapezi

T = (0,3333/2)·5,288494 = 0,8814

Risposta

T = 0,8814

Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.

8.Metodi numerici

Risposta: |E| = 0,08647

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₃ = −0,65625

Valore esatto

y(0,75) = −0,569783

Errore globale

|E| = |−0,569783 + 0,65625| = 0,08647

Grafico

Risposta

|E| = 0,08647

Dimezzare h dimezza all’incirca l’errore del metodo di Eulero.

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