Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 24 °C. Dopo 13 min la sua temperatura è 12 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 24 °CT(13) = 12 °C

k = min⁻¹

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi y′ + 2y = 3e^−0,5t con y(0) = 2. Trova y(1,5).

y′ + 2y = 3e^−0,5ty(0) = 2

y(1.5) =

3.IntegraliMedia

La regione sotto y = 3x da x = 0 a x = 4 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

4.IntegraliDifficile

La regione tra la retta y = 2x e la parabola y = 2x² viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido.

y = 2xy = 2x²

V =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·e^−0,5x. Trova f′(0,5).

f(x) = x·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 6. Trova l'ascissa x del minimo locale.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 6

x =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₀¹ x³ dx con la regola dei trapezi, n = 4, e confrontala con il valore esatto. Trova l’errore assoluto |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 4

|E| =

8.Metodi numericiDifficile

Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,1 per y′ = cos t − y, y(0) = 3. Trova y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1

y₁ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,03119 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−13k = -12/-18

Risolvi per k

k = ln(-18/-12)/13 = 0,03119 min⁻¹

Risposta

k = 0,03119 min⁻¹

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(1.5) = 0,9447

Fattore integrante

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 3e^1,5t

Soluzione generale

y = 3/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 2·e^−0,5t + C·e^−2t

Condizione iniziale

2 = 2 + C → C = 0

Calcola

y(1,5) = 2·0,4724 + 0·0,04979 = 0,9447

Risposta

y(1,5) = 0,9447

3.Integrali

Risposta: V = 603,2

Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.

Metodo dei dischi

V = π∫₀⁴ 9x² dx

Integra

V = π·9·4³/3 = 603,2

Risposta

V = 603,2

Verifica: un cono di raggio 12 e altezza 4 ha (1/3)πr²h = 603,2.

4.Integrali

Risposta: V = 1,676

Punti di intersezione

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Metodo delle rondelle

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

Integra

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Risposta

V = 1,676

5.Derivate

Risposta: f′(0.5) = 0,5841

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(1 + (−0,5)·x)

Sostituisci

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,25)) = 0,5841

Risposta

f′(0,5) = 0,5841

6.Derivate

Risposta: x = 6

Derivata

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Risolvi f′(x) = 0

x = 3 oppure x = 6

Qual è quale

f″(x) = 6x − 27: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

Risposta

x = 6

7.Metodi numerici

Risposta: |E| = 0,01563

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Valore esatto

I = 0,25

Regola dei trapezi

T = (0,25/2)·(0 + 2·0,015625 + 2·0,125 + 2·0,421875 + 1) = 0,265625

Errore

|E| = |0,265625 − 0,25| = 0,01563

Risposta

|E| = 0,01563

Errore relativo: 6,25%.

8.Metodi numerici

Risposta: y₁ = 2,81

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Quattro pendenze

k₁ = f(0, 3) = −2

k₂ = f(0,05, 2,9) = −1,90125

k₃ = f(0,05, 2,904938) = −1,906187

k₄ = f(0,1, 2,809381) = −1,814377

Combina

y₁ = 3 + (0,1/6)(−2 + 2·−1,90125 + 2·−1,906187 − 1,814377) = 2,81

Risposta

y₁ = 2,81

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