Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Una tazza di caffè a 91 °C viene lasciata in una stanza a 24 °C. Dopo 28 min la sua temperatura è 46 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 91 °CT_a = 24 °CT(28) = 46 °C

k = min⁻¹

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 3y/x = 2x per x > 0, con y(1) = −1. Trova y(3).

y′ + 3y/x = 2xy(1) = −1

y(3) =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione tra la parabola y = 4 − x² e l'asse x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·sin(x), con x in radianti. Trova f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.DerivateDifficile

La retta tangente a f(x) = −x² + 2x + 2 in x = 2 interseca l'asse y in y = b. Trova b.

f(x) = −x² + 2x + 2x = 2

b =

7.Metodi numericiMedia

La regola dei trapezi è usata per ∫₀² x³ dx. L’errore è al più (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| su [0, 2]. Trova il numero minimo di strisce n che garantisce un errore inferiore a 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

8.Metodi numericiDifficile

Risolvi y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 con il metodo di Eulero e passo h = 0,5 fino a t = 1,5. La soluzione esatta è y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Trova l’errore globale |E| = |y(1,5) − y₃|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,5

|E| =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,03977 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−28k = 22/67

Risolvi per k

k = ln(67/22)/28 = 0,03977 min⁻¹

Risposta

k = 0,03977 min⁻¹

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(3) = 3,548

Fattore integrante

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integra

(x³y)′ = 2x⁴ → x³y = 2x⁵/5 + C

Condizione iniziale

−1 = 2/5 + C → C = −1,4

Calcola

y(3) = (2·3⁵/5 + (−1,4))/3³ = 3,548

Risposta

y(3) = 3,548

3.Integrali

Risposta: I = 7,34

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitiva

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limiti

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Risposta

I = 7,34

4.Integrali

Risposta: A = 10,67

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Zeri

4 − x² = 0 → x = ±2

Integra

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Risposta

A = 10,67

5.Derivate

Risposta: f′(1.5) = 1,104

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto e della catena

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Sostituisci

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Risposta

f′(1,5) = 1,104

6.Derivate

Risposta: b = 6

Punto e pendenza

f(2) = 2

f′(x) = −2x + 2 → f′(2) = −2

Retta tangente in x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−2)·2 = 6

Risposta

b = 6

7.Metodi numerici

Risposta: n = 283

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Maggiorazione della derivata seconda

M = 6·2 = 12

Ricava n

n² > 8·12/(12·0,0001) = 80000

n > 282,8 → n = 283

Risposta

n = 283

8.Metodi numerici

Risposta: |E| = 0,05968

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₃ = 1,799774

Valore esatto

y(1,5) = 1,740097

Errore globale

|E| = |1,740097 − 1,799774| = 0,05968

Grafico

Risposta

|E| = 0,05968

Dimezzare h dimezza all’incirca l’errore del metodo di Eulero.

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