Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Un pezzo d’acciaio forgiato a 380 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 26 °C. Dopo 38 min la sua temperatura è 139 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.

T₀ = 380 °CT_a = 26 °CT(38) = 139 °C

k = min⁻¹

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi y′ + 0,5y = 7e^−2t con y(0) = 3. Trova y(1).

y′ + 0,5y = 7e^−2ty(0) = 3

y(1) =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₁^2,5 x·ln x dx.

∫₁^2,5 x ln x dx

I =

4.IntegraliDifficile

Calcola I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = (3x − 1)⁴. Trova f′(0).

f(x) = (3x − 1)⁴x = 0

f′(0) =

6.DerivateDifficile

La retta tangente a f(x) = 0,5x² − 2x − 5 in x = 3 interseca l'asse y in y = b. Trova b.

f(x) = 0,5x² − 2x − 5x = 3

b =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx con la regola dei trapezi usando n = 4 strisce. Dai T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4

T =

8.Metodi numericiDifficile

Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 per y′ = cos t − y, y(0) = −1. Trova y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5

y₁ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: k = 0,03005 min⁻¹

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Rapporto delle differenze di temperatura

e^−38k = 113/354

Risolvi per k

k = ln(354/113)/38 = 0,03005 min⁻¹

Risposta

k = 0,03005 min⁻¹

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(1) = 4,019

Fattore integrante

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 7e^−1,5t

Soluzione generale

y = 7/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −4,667·e^−2t + C·e^−0,5t

Condizione iniziale

3 = −4,667 + C → C = 7,667

Calcola

y(1) = −4,667·0,1353 + 7,667·0,6065 = 4,019

Risposta

y(1) = 4,019

3.Integrali

Risposta: I = 1,551

Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.

Scegli u e dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitiva

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limiti

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Risposta

I = 1,551

4.Integrali

Risposta: I = 3,602

Primo passaggio

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Secondo passaggio

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limiti

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Risposta

I = 3,602

5.Derivate

Risposta: f′(0) = −12

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola della catena

f′(x) = 4·(3x − 1)³·3

Sostituisci

f′(0) = 4·(−1)³·3 = −12

Risposta

f′(0) = −12

6.Derivate

Risposta: b = −9,5

Punto e pendenza

f(3) = −6,5

f′(x) = x − 2 → f′(3) = 1

Retta tangente in x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6,5 − 1·3 = −9,5

Risposta

b = −9,5

7.Metodi numerici

Risposta: T = 1,352

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Nodi e valori

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,970143 + 2·0,707107 + 2·0,406138 + 0,242536 = 5,409311

Regola dei trapezi

T = (0,5/2)·5,409311 = 1,352

Risposta

T = 1,352

Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.

8.Metodi numerici

Risposta: y₁ = −0,2318

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Quattro pendenze

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,25, −0,5) = 1,468912

k₃ = f(0,25, −0,632772) = 1,601684

k₄ = f(0,5, −0,199158) = 1,07674

Combina

y₁ = −1 + (0,5/6)(2 + 2·1,468912 + 2·1,601684 + 1,07674) = −0,2318

Risposta

y₁ = −0,2318

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