Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Risolvi y″ + 7y′ + 12y = 0 con y(0) = 4 e y′(0) = 2. Trova y(0,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(0.5) =

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi y″ + 2y′ + 10y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 0 (rilasciato da fermo). Trova y(0,75); angoli in radianti.

y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.75) =

3.IntegraliMedia

Calcola I = ∫₂⁸ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 8]

I =

4.IntegraliDifficile

Trova l'area A della regione delimitata da y = 2x² e y = x.

y = 2x²y = x

A =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·e^−x. Trova f′(1,5).

f(x) = x·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 3. Trova l'ascissa x del massimo locale.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 3

x =

7.Metodi numericiMedia

Approssima ∫₁⁴ 1/x dx con la regola dei trapezi, n = 4, e confrontala con il valore esatto. Trova l’errore assoluto |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 4

|E| =

8.Metodi numericiDifficile

Usa il metodo di Eulero con h = 0,25 per y′ = y − t², y(0) = 1, per stimare y₄ ≈ y(1).

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,25

y₄ =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: y(0.5) = 2,122

Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = e^rt: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·e^rt (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.

Radici caratteristiche

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Costanti dai valori iniziali

A + B = 4, −3A − 4B = 2

A = 18, B = −14

Calcola

y(0,5) = 18·e^−1,5 + (−14)·e⁻² = 2,122

Risposta

y(0,5) = 2,122

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(0.75) = −0,1742

Radici complesse

r = −1 ± 3j

Costanti

A = 1, B = 1·1/3 = 0,3333

Calcola

y(0,75) = e^−0,75(1·cos 2,25 + 0,3333·sin 2,25) = −0,1742

Risposta

y(0,75) = −0,1742

3.Integrali

Risposta: I = 1,386

Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.

Primitiva

F(x) = ln x

Valuta agli estremi

I = (ln 8 − ln 2) = ln 4 = 1,386

Risposta

I = 1,386

4.Integrali

Risposta: A = 0,04167

Punti di intersezione

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Integra superiore meno inferiore

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Risposta

A = 0,04167

5.Derivate

Risposta: f′(1.5) = −0,1116

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Sostituisci

f′(1,5) = 0,2231·(1 + (−1,5)) = −0,1116

Risposta

f′(1,5) = −0,1116

6.Derivate

Risposta: x = 2

Derivata

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

Risolvi f′(x) = 0

x = 2 oppure x = 3

Qual è quale

f″(x) = 6x − 15: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

Risposta

x = 2

7.Metodi numerici

Risposta: |E| = 0,0418

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Valore esatto

I = 1,386294

Regola dei trapezi

T = (0,75/2)·(1 + 2·0,571429 + 2·0,4 + 2·0,307692 + 0,25) = 1,428091

Errore

|E| = |1,428091 − 1,386294| = 0,0418

Risposta

|E| = 0,0418

Errore relativo: 3,015%.

8.Metodi numerici

Risposta: y₄ = 2,198

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₁ = 1 + 0,25·(1) = 1,25

y₂ = 1,25 + 0,25·(1,1875) = 1,546875

y₃ = 1,546875 + 0,25·(1,296875) = 1,871094

y₄ = 1,871094 + 0,25·(1,308594) = 2,198242

Grafico

y₄ = 2,198

Risposta

y₄ = 2,198

Il valore esatto è y(1) = 2,281718.

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