Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (1 + 3/x)2x. Dai un valore decimale.
Calcola il limite L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), con x in radianti.
Sia f(x) = x·sin(2x), con x in radianti. Trova f′(1,5).
La retta tangente a f(x) = −x2 + 4x + 5 in x = 2 interseca l'asse y in y = b. Trova b.
Calcola I = ∫₁4 x·ln x dx.
Trova l'area A della regione delimitata da y = 0,5x2 e y = 4x.
Trova l’argomento θ di z = −7 + j in gradi, come valore principale compreso tra −180° e 180°.
Risolvi z² − 5z + 22,25 = 0. Le radici sono a ± jb; trova b > 0.
Una tazza di caffè a 84 °C viene lasciata in una stanza a 22 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,05 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 14 min.
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + y/x = 3 per x > 0, con y(1) = 4. Trova y(2).
Sia C = AB per le matrici mostrate. Trova l'elemento c21 (riga 2, colonna 1).
Trova l'autovalore maggiore λ della matrice A mostrata.
Trova il prodotto scalare a·b di a = (7, 4, −5) e b = (−5, −5, 7).
Una forza F = (10, 50, 30) N agisce nel punto A(−4, 3, 3). Le coordinate sono in metri. Trova la componente x Mx del momento della forza rispetto a il punto O(−1, −2, 1).
Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 18, 30, 42, 58, 38, 24.
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 60. Trova il punteggio z z di un voto pari a 440.
Le masse di scatole sono indipendenti e normali con media 12 kg e deviazione standard 0,8 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 5 di essi sia inferiore a 60,9 kg. Arrotonda z a due decimali.
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
Risposta: L = 403,4
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
ln(1 + u)/u → 1 per u → 0, quindi x·ln(1 + a/x) → a.
Risposta: L = 2,25
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(1.5) = −2,829
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: b = 9
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: I = 7,34
Integrazione per parti: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dalla regola del prodotto. Scegli u come il fattore che si semplifica quando lo derivi (una potenza di x, o ln x), e dv come il fattore che sai integrare (eˣ, sin x, cos x, o x quando u = ln x). Per un integrale definito, calcola u·v a entrambi gli estremi: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un fattore x² richiede due passaggi.
Risposta: A = 42,67
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: θ = 171,9 °
Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
In forma polare z = 7,071∠171,9°.
Risposta: b = 4
De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.
Risposta: T = 52,79 °C
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: y(2) = 4,25
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: c21 = −26
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: λ = 4
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: a·b = −90
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negativo: l’angolo tra i vettori è maggiore di 90°.
Risposta: Mx = 50 N·m
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Risposta: P = 0,7209
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: P = 0,1493
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: s = 14,3
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: z = −1
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: P = 0,6915
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
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