Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (√(9x2 + 2x) − 3x).
Calcola il limite L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), con x in radianti.
Sia f(x) = ln(3x2 + 4). Trova f′(3).
Sia f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 1. Trova l'ascissa x del massimo locale.
Calcola I = ∫01 e2x dx.
Trova l'area A della regione delimitata da y = x2 e y = x.
Dati z₁ = 1,5∠125° e z₂ = 4∠20°, trova la parte immaginaria di w = z₁/z₂.
Esattamente uno dei punti A–D è una radice di z⁶ = 729∠−90°. Cliccalo.
Un pezzo d’acciaio forgiato a 380 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 21 °C. Dopo 31 min la sua temperatura è 97 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
Risolvi il problema ai valori iniziali y′ + 2y/x = 5x2 per x > 0, con y(1) = 1. Trova y(3).
Trova il determinante det A della matrice 3×3 A mostrata.
Trova l'autovalore maggiore λ della matrice A mostrata.
Trova l’angolo θ tra i vettori a = (0, 5, 2) e b = (3, −4, 5), in gradi.
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (−3, 1, −2) sia a b = (2, 1, 1) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂y.
Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 33, 31, 20, 16, 20, 25.
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 26.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0322. Trova z con due decimali.
I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 60% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
Risposta: L = 0,3333
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: L = 2
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(3) = 0,5806
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: x = −1
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
f″(x) = 6x − 6: negativa in un massimo, positiva in un minimo.
Risposta: I = 3,195
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: A = 0,1667
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: Im(w) = 0,3622
Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
Risposta: C (3∠−75°)
De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.
Risposta: k = 0,05008 min⁻¹
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: y(3) = 27
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: det A = 98
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: λ = 6
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: θ = 105,2 °
Prodotto scalare: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Risposta: n̂y = 0,169
Prodotto vettoriale: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).
Risposta: P = 0,7209
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: P = 0,2541
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: s = 6,735
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: z = −1,2
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: z = 1,85
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Trova 0,9678 dentro la tabella e leggi z.
Risposta: x = 96,3 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics