Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (4x3 − 5x − 8)/(x3 + 2x + 8).
Calcola il limite L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²), con x in radianti.
Sia f(x) = x3·e2x. Trova f′(1).
Sia f(x) = x3 + 7,5x2 + 18x − 5. Trova l'ascissa x del massimo locale.
Calcola I = ∫12 3/x dx.
Trova l'area A della regione delimitata da y = 0,5x2 e y = 2x.
Il diagramma mostra z = 4 + j3. Con w = 2∠90°, clicca il punto che rappresenta z·w.
Una radice di z³ + z² − 12z + 40 = 0 è z₁ = 2 + j2. I coefficienti sono reali. Trova la radice reale r.
Una lattina di bibita a 4 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 27 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,09 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 28 min.
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(1); angoli in radianti.
Sia C = AB per le matrici mostrate. Trova l'elemento c12 (riga 1, colonna 2).
Trova l'autovalore maggiore λ della matrice A mostrata.
Una forza costante F = (−30, −10, −5) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(4, −1, 0) al punto B(2, 1, −1). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.
Una forza F = (−40, −10, −20) N agisce nel punto A(4, 3, −2). Le coordinate sono in metri. Trova la componente x Mx del momento della forza rispetto a l’origine O(0, 0, 0).
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 43, 58, 42, 45, 54.
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 158?
Le masse di bulloni sono indipendenti e normali con media 40 g e deviazione standard 1,2 g. Trova la probabilità P che la massa totale di 9 di essi superi 356,4 g. Arrotonda z a due decimali.
I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
Risposta: L = 4
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
A gradi uguali il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi.
Risposta: L = 3,125
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(1) = 36,95
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: x = −3
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
f″(x) = 6x + 15: negativa in un massimo, positiva in un minimo.
Risposta: I = 2,079
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: A = 5,333
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: A (−6 + j8)
Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
Risposta: r = −5
De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.
Verifica con la somma delle radici: z₁ + z₂ + r = 4 + (−5) = −1 = −(1).
Risposta: T = 25,15 °C
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: y(1) = 1,001
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Risposta: c12 = −18
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: λ = 1
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: W = 45 J
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Risposta: Mx = −80 N·m
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: P = 0,7361
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: s = 11,17
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: P = 0,1151
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: P = 0,8413
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Risposta: P = 0,8665
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
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