Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 40 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
Usa l’analisi nodale per trovare la tensione di nodo VA (misurata rispetto a massa).
Il generatore di corrente viene regolato finché la tensione di nodo in A è VA = 8,5 V. Usa il metodo dei nodi per trovare la corrente del generatore Is (verso come indicato).
Usa l’analisi alle maglie per trovare la tensione VR1 ai capi di R1 con la polarità indicata.
Usa l’analisi alle maglie per trovare la corrente IR1 in R1 nel verso della freccia.
Usa la sovrapposizione degli effetti per trovare la corrente IR2 in R2 nel verso della freccia.
Trova il valore del generatore di tensione V2 (polarità come indicato) che rende nulla la corrente IR3 in R3.
Un carico RL = 5 Ω è collegato tra a–b. Sostituisci il resto del circuito con il suo equivalente di Thévenin e trova la corrente nel carico IL.
Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.
L’induttore porta una corrente stazionaria di 2 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la corrente i in t = 15 ms.
L’interruttore in parallelo a R2 è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente dell’induttore i a t = 10 ms.
Un circuito RLC serie con L = 100 mH deve entrare in risonanza a 60 Hz. Trova la capacità C necessaria.
Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 2 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace VL ai capi dell’induttore.
Un carico con impedenza Z = 20 + j15 Ω è collegato a un’alimentazione monofase da 230 V (efficaci). Trova la potenza apparente S.
Un carico monofase assorbe 50 kW con un fattore di potenza di 0,7 induttivo da un’alimentazione da 240 V, 50 Hz. Un condensatore collegato in parallelo porta il fattore di potenza a 0,92. Trova la capacità C necessaria.
Un carico equilibrato a triangolo con un’impedenza di 7 + j24 Ω per fase è collegato a una rete trifase equilibrata con una tensione concatenata di 400 V. Trova la potenza attiva totale P assorbita dal carico in kW.
Un carico trifase equilibrato assorbe 80 kW con un fattore di potenza di 0,72 in ritardo da una rete a 400 V (tensione concatenata) e 50 Hz. Una batteria trifase di condensatori in parallelo al carico deve portare il fattore di potenza complessivo a 0,95 in ritardo. La potenza attiva resta invariata. Trova la potenza reattiva totale QC che la batteria di condensatori deve fornire, in kvar.
Un trasformatore monofase da 25 kVA, 480/240 V funziona al carico nominale. Consideralo ideale. Trova la corrente IHV nell’avvolgimento di alta tensione.
Un trasformatore monofase da 100 kVA ha perdite nel ferro di 600 W e perdite nel rame di 1500 W al carico nominale. Fornisce il 25% dei suoi kVA nominali con un fattore di potenza di 0,95 in ritardo. Trova le perdite totali Ploss in watt a questo carico.
L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±14 V. L’amplificatore non invertente è pilotato da un’onda sinusoidale. Trova la massima ampiezza d’ingresso Vin,max (valore di picco) per cui l’uscita non viene tagliata.
L’integratore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±12 V. Il condensatore è scarico quando a t = 0 viene applicato un ingresso costante Vin = −2,4 V. Trova la tensione d’uscita Vout a t = 10 ms.
Un regolatore Zener da 3,3 V è alimentato da 24 V attraverso 220 Ω e alimenta un carico da 1500 Ω. Trova la corrente nello Zener IZ.
Un regolatore Zener da 5,1 V deve fornire fino a 25 mA a un carico. L’ingresso può scendere a 18 V e lo Zener richiede almeno 5 mA per regolare. Trova la massima resistenza in serie Rmax che lo mantiene in regolazione.
Imposta i bit in modo che memorizzino −112 in complemento a due a 8 bit. Letto come numero senza segno, qual è il valore U dello schema?
Qual è il più grande intero senza segno N che sta in 20 bit?
Usa la mappa di Karnaugh per trovare la forma minima a somma di prodotti (SOP) di F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 7). Quanti termini prodotto N ha?
Un flip-flop JK sensibile al fronte di salita parte con Q = 0 e riceve gli ingressi mostrati in 8 fronti di salita del clock. Quante volte N Q cambia stato?
F(s) = (6s + 23)/(s² + 9s + 20). La sua antitrasformata ha la forma f(t) = A·e−4t + B·e−5t. Trova il coefficiente A con i fratti semplici.
Un sistema obbedisce a y″ + 9y′ + 20y = 80·u(t). Parte da fermo (y(0) = 0, y′(0) = 0) e l’ingresso è un gradino u(t) = 5 per t ≥ 0. Usa la trasformata di Laplace per trovare l’uscita y(0,1).
Un processo G(s) = 24/(s + 1) è controllato in un anello di retroazione negativa il cui sensore ha guadagno H = 0,2. Un gradino di ampiezza 5 viene applicato in R. Trova l’uscita a regime css.
Un controllore proporzionale K = 28 comanda il processo G(s) = 4/(s + 4) in un anello di retroazione negativa unitaria. Un disturbo D entra all’ingresso del processo (viene sommato all’uscita del controllore). Un gradino di riferimento di ampiezza 5 e un gradino di disturbo di ampiezza 5 vengono applicati insieme. Trova l’uscita a regime css.
Un sistema ha funzione di trasferimento G(s) = 136/(s² + 4s + 68) e riceve un ingresso a gradino unitario. Trova la pulsazione naturale ωn in rad/s.
Un anello di retroazione negativa unitaria ha G(s) = 285/(s(s + 16)). Trova il tempo di assestamento al 2 % ts della risposta al gradino ad anello chiuso, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).
Nel filtro passa-banda RLC serie mostrato l’uscita è prelevata ai capi di R = 10 Ω, con L = 100 mH e C = 1 µF. Trova la frequenza centrale (di risonanza) f0 in Hz.
Un anello a retroazione unitaria ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = 382/(s(s + 6)(s + 10)). Trova la pulsazione di attraversamento della fase ω180, dove ∠L(jω) = −180°.
L’anello nello schema ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Il guadagno viene aumentato finché l’anello chiuso è al limite della stabilità. Trova la frequenza ω dell’oscillazione sostenuta.
Per l’anello L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5)), trova il guadagno K che pone un polo ad anello chiuso in s = −2.
L’ingresso r(t) = 2 + 0,5t (un gradino più una rampa) è applicato a un anello a retroazione unitaria con G(s) = 5(s + 2)/(s(s + 2)). Trova l’errore a regime ess.
Un controllore proporzionale K comanda il sistema G(s) = 2/(s(s + 6)) in un anello a retroazione unitaria. Trova il guadagno K che dà all’anello chiuso un coefficiente di smorzamento ζ = 0,5.
Risposta: IR1 = 1,141 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
Risposta: IR1 = 0,7472 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
Risposta: VA = 13,33 V
Analisi nodale: scegli un nodo di riferimento, assegna un nome alle tensioni di nodo incognite, scrivi la legge di Kirchhoff delle correnti in ogni nodo incognito usando la legge di Ohm (I = ΔV/R) e risolvi le equazioni.
La massa è il filo in basso. Le tensioni di nodo note vengono direttamente dai generatori (V1 = 30 V). Incognite: VA, VB.
Le correnti che escono da A attraverso i resistori sono uguali alla corrente immessa in A dai generatori.
Le correnti che escono da B attraverso i resistori sono uguali alla corrente immessa in B dai generatori.
Risposta: Is = 4,692 A
Analisi nodale: scegli un nodo di riferimento, assegna un nome alle tensioni di nodo incognite, scrivi la legge di Kirchhoff delle correnti in ogni nodo incognito usando la legge di Ohm (I = ΔV/R) e risolvi le equazioni.
VA è noto, quindi questa equazione dà VB.
Le correnti uscenti da B attraverso i resistori sono uguali alla corrente immessa in B dai generatori.
Risposta: VR1 = 2,4 V
Analisi alle maglie: assegna a ogni finestra di un circuito planare la propria corrente d’anello, scrivi la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni anello (somma delle cadute = somma degli aumenti) e risolvi. Le correnti di ramo sono la corrente di maglia, o la differenza di due correnti di maglia su un ramo condiviso.
Disegna una corrente in senso orario in ogni finestra: I1, I2. Un resistore condiviso da due maglie porta la differenza delle loro correnti.
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Risposta: IR1 = 0,4692 A
Analisi alle maglie: assegna a ogni finestra di un circuito planare la propria corrente d’anello, scrivi la legge di Kirchhoff delle tensioni lungo ogni anello (somma delle cadute = somma degli aumenti) e risolvi. Le correnti di ramo sono la corrente di maglia, o la differenza di due correnti di maglia su un ramo condiviso.
Disegna una corrente in senso orario in ogni finestra: I1, I2, I3. Un resistore condiviso da due maglie porta la differenza delle loro correnti.
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
Procedendo in senso orario, le cadute di tensione sui resistori sono uguali agli aumenti di tensione dei generatori (da − a + nel verso di percorrenza).
Una corrente di maglia negativa scorre in senso antiorario.
Risposta: IR2 = 0,7 A
Sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare, ogni tensione o corrente è la somma delle risposte a ciascun generatore indipendente che agisce da solo. Per spegnere un generatore, sostituisci un generatore ideale di tensione con un cortocircuito e un generatore ideale di corrente con un circuito aperto. I resistori restano dove sono.
Iₛ diventa un circuito aperto, quindi R₃ e R₄ formano un unico ramo in serie da A a massa, in parallelo con R₂.
V₁ diventa un cortocircuito, quindi R₁ è in parallelo con R₂. Iₛ si divide in B tra R₄ e il percorso attraverso R₃.
Un risultato negativo significa che in realtà la corrente scorre contro la freccia.
Risposta: V2 = 4,5 V
Sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare, ogni tensione o corrente è la somma delle risposte a ciascun generatore indipendente che agisce da solo. Per spegnere un generatore, sostituisci un generatore ideale di tensione con un cortocircuito e un generatore ideale di corrente con un circuito aperto. I resistori restano dove sono.
V₂ diventa un cortocircuito e Iₛ un circuito aperto. Visto da A, R₃ è in parallelo con la coppia in serie R₂+R₄.
Entrambi i generatori di tensione diventano cortocircuiti. Iₛ si divide in B tra R₄ (ora verso massa) e R₂ in serie con R₁ ∥ R₃. La freccia di Iₛ punta verso il basso, uscendo dal suo nodo, quindi Iₛ preleva corrente da quel nodo: il suo termine entra con il segno meno.
V₁ diventa un cortocircuito e Iₛ un circuito aperto. R₁ ∥ R₃ parte da A, in serie con R₂ fino a B.
Con VA = 0 non c’è tensione ai capi di R₃, quindi la sua corrente è nulla.
Risposta: IL = 0,3871 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.
Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.
Risposta: IN = 5,667 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.
Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.
Risposta: i = 0,2108 A
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Risposta: i = 0,2406 A
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.
Risposta: C = 70,36 µF
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).
Risposta: VL = 28,43 V
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.
Questo è Q = 14,21 volte la tensione di alimentazione.
Risposta: S = 2116 VA
Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.
Risposta: C = 1642 µF
Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.
La potenza attiva P non cambia; cambia solo la potenza reattiva prelevata dalla rete.
Un condensatore in parallelo all’alimentazione fornisce Q = V²·ωC.
Risposta: P = 5,376 kW
Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Solo la parte resistiva di ogni impedenza assorbe potenza attiva.
Verifica: cos φ = R/|Z| = 0,28, e √3·VL·IL·cos φ dà la stessa potenza.
Risposta: QC = 50,81 kvar
Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Rifasamento: i condensatori forniscono localmente potenza reattiva, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Ciascuno dei tre condensatori fornisce QC/3 = V²·ω·C, dove V è la tensione ai capi di quel condensatore: VL in una batteria a triangolo, VL/√3 in una batteria a stella.
La potenza attiva non cambia, quindi ogni fattore di potenza determina la potenza reattiva: Q = P·tan φ.
Risposta: IHV = 52,08 A
Trasformatore ideale: le tensioni stanno nel rapporto delle spire e le correnti nel rapporto inverso: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, quindi la potenza in ingresso è uguale a quella in uscita, V₁·I₁ = V₂·I₂. Un’impedenza di carico Z sul secondario appare come a²·Z vista dal primario.
Entrambi gli avvolgimenti trasportano la stessa potenza apparente.
Risposta: Ploss = 693,8 W
Perdite del trasformatore: le perdite nel ferro (isteresi e correnti parassite) dipendono dalla tensione e sono le stesse a qualsiasi carico. Le perdite nel rame degli avvolgimenti variano con il quadrato della corrente, quindi a una frazione x del carico nominale valgono x²·Pcu,fl. Rendimento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. Il rendimento è massimo al carico per cui le perdite nel rame sono uguali alle perdite nel ferro.
Le perdite nel ferro sono le stesse a qualsiasi carico.
Il rendimento a questo carico è η = 97,16%.
Risposta: Vin,max = 1,273 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Risposta: Vout = 5,106 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
kΩ per µF dà millisecondi.
Il valore ideale è all’interno di ±Vsat, quindi l’integratore non è ancora in saturazione.
Risposta: IZ = 91,89 mA
Regolatore Zener: un diodo Zener polarizzato inversamente mantiene la sua tensione VZ finché la sua corrente resta sopra un minimo IZ,min. Il resistore in serie R assorbe la differenza tra ingresso e uscita: IR = (Vin − VZ)/R. Questa corrente si divide tra il carico, IL = VZ/RL, e lo Zener: IZ = IR − IL. Progetta per i casi peggiori: l’ingresso più basso con il carico maggiore deve comunque lasciare IZ,min, e l’ingresso più alto senza carico dà la massima potenza dello Zener PZ = VZ·IZ.
Risposta: Rmax = 430 Ω
Regolatore Zener: un diodo Zener polarizzato inversamente mantiene la sua tensione VZ finché la sua corrente resta sopra un minimo IZ,min. Il resistore in serie R assorbe la differenza tra ingresso e uscita: IR = (Vin − VZ)/R. Questa corrente si divide tra il carico, IL = VZ/RL, e lo Zener: IZ = IR − IL. Progetta per i casi peggiori: l’ingresso più basso con il carico maggiore deve comunque lasciare IZ,min, e l’ingresso più alto senza carico dà la massima potenza dello Zener PZ = VZ·IZ.
Risposta: U = 144
Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.
Risposta: N = 1,049 × 10⁶
Sistemi di numerazione posizionali: ogni cifra vale il suo valore per una potenza della base. In binario le posizioni valgono 1, 2, 4, 8, 16, …; in esadecimale 1, 16, 256, …, con A–F per 10–15. Nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128 invece di +128: così si memorizzano i numeri negativi.
Risposta: N = 2
Mappe di Karnaugh: le celle sono ordinate in codice Gray (00, 01, 11, 10), quindi le celle vicine, comprese quelle attraverso i bordi, differiscono per esattamente una variabile. Raggruppa gli 1 in rettangoli di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, i più grandi e il meno numerosi possibile, finché ogni 1 non è coperto. Ogni gruppo è un termine prodotto: le variabili che restano costanti al suo interno. Un gruppo di 2ᵏ celle perde k variabili. Le condizioni di indifferenza (X) possono servire a ingrandire i gruppi ma non devono mai essere coperte. Raggruppando invece gli 0 si ottiene la forma POS minima.
Ogni gruppo è un rettangolo di 2ᵏ celle; le celle di bordo sono vicine alle celle del bordo opposto.
Risposta: N = 4
Flip-flop e contatori: un flip-flop cambia solo sul fronte attivo del clock. D copia il suo ingresso (Q⁺ = D); T commuta quando T = 1; JK mantiene per 00, azzera per 01, imposta a 1 per 10 e commuta per 11. Un contatore binario a n bit ha 2ⁿ stati e conta modulo 2ⁿ; un contatore modulo N conta 0, 1, …, N − 1 e torna a 0, e richiede il minimo n con 2ⁿ ≥ N flip-flop. Ogni stadio di un contatore asincrono (ripple) dimezza la frequenza, quindi l’ultima uscita di un contatore modulo N ha frequenza fclk/N. Un contatore Johnson di n flip-flop ha 2n stati, un contatore ad anello n.
Un flip-flop JK: 00 mantiene, 01 azzera (Q = 0), 10 imposta (Q = 1), 11 commuta.
Risposta: A = −1
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Moltiplica per (s + 4) e poni s = −4: il termine in B si annulla.
Risposta: y(0.1) = 1,49
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Risposta: css = 20,69
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Risposta: css = 5
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un K maggiore riduce l’effetto del disturbo, ma con un controllore proporzionale mai fino a zero.
Risposta: ωn = 8,246 rad/s
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Il denominatore deve coincidere con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Risposta: ts = 0,5 s
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Per questo anello ζωₙ = a/2 qualunque sia K: aumentare K aumenta la sovraelongazione ma non accorcia il tempo di assestamento.
Risposta: f0 = 503,3 Hz
Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.
Risposta: ω180 = 7,746 rad/s
Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ωc = 1/(RC) oppure R/L, e fc = ωc/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsazione di attraversamento della fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.
Risposta: ω = 2,828 rad/s
Criterio di Routh–Hurwitz: un sistema lineare è stabile quando tutte le radici del suo polinomio caratteristico stanno nel semipiano sinistro del piano s. Scrivi i coefficienti alternati nelle prime due righe della tabella di Routh. Ogni elemento di una nuova riga si ricava dalle due righe sopra; per un polinomio cubico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ l’elemento della riga s¹ è b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Il numero di cambi di segno nella prima colonna è uguale al numero di radici nel semipiano destro. Con un guadagno K nei coefficienti, ogni elemento della prima colonna deve restare positivo: il guadagno che annulla l’elemento della riga s¹ è il limite di stabilità, e la riga s² dà poi la frequenza dell’oscillazione sostenuta.
Al guadagno critico la riga s¹ è nulla; la riga s² dà i poli sull’asse immaginario.
Risposta: K = 12
Luogo delle radici: al variare del guadagno K da 0 a ∞, i poli ad anello chiuso, cioè le radici di 1 + K·G(s) = 0, si spostano dai poli ad anello aperto agli zeri ad anello aperto o all’infinito. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo quando il numero di poli e zeri reali alla sua destra è dispari. Gli n − m rami che vanno all’infinito seguono asintoti con angoli (2q + 1)·180°/(n − m), che partono dal centro σₐ = (Σ poli − Σ zeri)/(n − m). I rami lasciano o raggiungono l’asse reale dove dK/ds = 0. La condizione sull’angolo ∠G(s) = 180° fissa la forma, e la condizione sul modulo K = 1/|G(s)| dà il guadagno in ogni punto del luogo.
Verifica: s(s + 4)(s + 5) + K è zero in s = −2.
Risposta: ess = 0,1
Errore a regime: in un anello a retroazione unitaria con funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) l’errore è E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e per il teorema del valore finale ess = lims→0 s·E(s). Il tipo del sistema è il numero di poli di G(s) in s = 0. Le costanti d’errore sono Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), tutte per s → 0. Un gradino di ampiezza A dà ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t dà A/Kv e una parabola A·t²/2 dà A/Ka. Un anello di tipo 0 segue un gradino con un errore finito, un anello di tipo 1 lo segue esattamente e segue una rampa con un errore finito.
Risposta: K = 18
Controllo P, PI e PID: il controllore C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s agisce sull’errore. Un guadagno proporzionale rende l’anello più veloce e riduce l’errore di un sistema di tipo 0, ma non lo elimina mai. Il termine integrale aggiunge un polo in s = 0: il tipo del sistema sale di uno e un gradino viene seguito senza errore. Il termine derivativo aggiunge smorzamento. Per scegliere i guadagni, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e confrontalo con s² + 2ζωns + ωn². Poi %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).
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