Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 150 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 150 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 130 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 130 kPa (relativa)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 0,9 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 0,9 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 10 m mentre il suo albero assorbe 4,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 40 L/sH = 10 mPshaft = 4,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 27 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 120 L/sΔz = 27 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 4,5 m e una scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,5 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.
b = 4,5 my = 0,5 mz = 3n = 0,014S = 0,005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in muratura in mattoni largo 4,5 m deve convogliare 27 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 27 m³/sb = 4,5 my = 1,5 mn = 0,015
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 312,7 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN
Risposta
F = 312,7 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,308 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·1,5 = 60,26 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,2813/(3,25·1,5) = 3,308 m
Risposta
ycp = 3,308 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 139,7 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(150/100)² = 5,063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−10,28) = 139,7 kPa
Risposta
p2 = 139,7 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: H = 13,27 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità di uscita
β = 20/100 = 0,2
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9984)) = 16,14 m/s
Altezza del getto
Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.
H = v2²/(2g) = 16,14²/(2·9,81) = 13,27 m
Risposta
H = 13,27 m
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,9083 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,1)·0,9²/(2·9,81) = 0,9083 m
Risposta
hf = 0,9083 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 2,224 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Perdita di carico totale
hf = 26,67·0,05738 = 1,53 m
hm = 12,1·0,05738 = 0,6943 m
Δz = hf + hm = 2,224 m
Risposta
Δz = 2,224 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 80,08 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·10 = 3,924 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 3,924/4,9 = 80,08%
Risposta
η = 80,08%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 55,38 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,3046 = 11,57 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 27 + 11,57 = 38,57 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·38,57/0,82 = 55,38 kW
Risposta
Pshaft = 55,38 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 8,109 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·0,5)·0,5 = 3 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,5·√(1 + 3²) = 7,662 m
R = A/P = 0,3915 m
Velocità
V = (1/0,014)·0,39152/3·0,0051/2 = 2,703 m/s
Portata
Q = A·V = 3·2,703 = 8,109 m³/s
Risposta
Q = 8,109 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,004143 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4,5·1,5 = 6,75 m²
P = b + 2y = 4,5 + 2·1,5 = 7,5 m
R = A/P = 0,9 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·27/(6,75·0,9322) = 0,06437
S = 0,06437² = 0,004143
Risposta
S = 0,004143
Questo corrisponde a un dislivello di 4,143 m per chilometro.
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