Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 25 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 1,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,6. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 1,5 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 100 mm, gola 50 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 240 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,97. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 240 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,3 m/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,3 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 74 m mentre il suo albero assorbe 24,2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 25 L/sH = 74 mP_shaft = 24,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 20 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 5,5 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,9 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 5,5 my = 1,9 mz = 2n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in ghiaia largo 5,5 m deve convogliare 39 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,2 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 39 m³/sb = 5,5 my = 2,2 mn = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 82,77 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Risposta

F = 82,77 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 184,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·4,5 = 184,5 kN

Risposta

F = 184,5 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 1,598 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,0004909·5,425 = 0,001598 m³/s = 1,598 L/s

Risposta

Q = 1,598 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 15,15 L/s

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,24 = 29665 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·29665/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,955 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,001963·7,955 = 0,01515 m³/s = 15,15 L/s

Risposta

Q = 15,15 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 1,292 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,05)·1,3²/(2·9,81) = 1,292 m

Risposta

h_f = 1,292 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 4,173 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Perdita di carico totale

h_f = 10,8·0,3046 = 3,29 m

h_m = 2,9·0,3046 = 0,8833 m

Δz = h_f + h_m = 4,173 m

Risposta

Δz = 4,173 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 74,99 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·74 = 18,15 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 18,15/24,2 = 74,99%

Risposta

η = 74,99%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 9,263 m

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,06529 = 2,263 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 7 + 2,263 = 9,263 m

Risposta

H = 9,263 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 48,65 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1,9)·1,9 = 17,67 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,9·√(1 + 2²) = 14 m

R = A/P = 1,262 m

Velocità

V = (1/0,012)·1,262^2/3·0,0008^1/2 = 2,753 m/s

Portata

Q = A·V = 17,67·2,753 = 48,65 m³/s

Risposta

Q = 48,65 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,004969 m/m

Geometria

A = b·y = 5,5·2,2 = 12,1 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·2,2 = 9,9 m

R = A/P = 1,222 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·39/(12,1·1,143) = 0,07049

S = 0,07049² = 0,004969

Risposta

S = 0,004969

Questo corrisponde a un dislivello di 4,969 m per chilometro.

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