Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 390 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 50 mm salendo di 1 m. Nella sezione 1 la pressione è 310 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 310 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 200 L/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 25 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 25 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 42 m mentre il suo albero assorbe 20,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 30 L/sH = 42 mPshaft = 20,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 27 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 80 L/sΔz = 27 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 900 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
D = 900 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 2 m deve convogliare 3 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,9 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 3 m³/sb = 2 my = 1,9 mn = 0,03
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 29,43 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN
Risposta
F = 29,43 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,308 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·3 = 120,5 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,5625/(3,25·3) = 3,308 m
Risposta
ycp = 3,308 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 380,3 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/75)² = 5,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 5,333²)/1000 = −9,722 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−9,722) = 380,3 kPa
Risposta
p2 = 380,3 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 299 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−1,143) − 9,81 = 299 kPa
Risposta
p2 = 299 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 19,04 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 19,04 m
Risposta
hf = 19,04 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 244,9 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
25 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·25/19,7) = 4,99 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,99·0,04909 = 0,2449 m³/s = 244,9 L/s
Risposta
Q = 244,9 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 60 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·42 = 12,36 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 12,36/20,6 = 60%
Risposta
η = 60%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 47,27 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,3305 = 10,08 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 27 + 10,19 + 10,08 = 47,27 m
Risposta
H = 47,27 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 0,2862 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m
Velocità
V = (1/0,013)·0,2252/3·0,0011/2 = 0,8999 m/s
Portata
Q = A·V = 0,3181·0,8999 = 0,2862 m³/s
Risposta
Q = 0,2862 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0009858 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2·1,9 = 3,8 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1,9 = 5,8 m
R = A/P = 0,6552 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·3/(3,8·0,7543) = 0,0314
S = 0,0314² = 0,0009858
Risposta
S = 0,0009858
Questo corrisponde a un dislivello di 0,9858 m per chilometro.
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