Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 130 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 130 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 200 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 1,5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
pair = 200 kPa (relativa)h = 1,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 5 L/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 5 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 19 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 19 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 46 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 150 L/sH = 46 mηpump = 70%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato è largo 1,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,3 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.
b = 1,5 my = 1,3 mn = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,9 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 40,47 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN
Risposta
F = 40,47 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 264,9 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN
Risposta
F = 264,9 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 125,2 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 130 + (−4,758) = 125,2 kPa
Risposta
p2 = 125,2 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 10,17 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli dal pelo libero al getto
v = √(2·(200000/1000 + 9,81·1,5)) = 20,72 m/s
Portata
Q = A·v = 0,0004909·20,72 = 0,01017 m³/s = 10,17 L/s
Risposta
Q = 10,17 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,6197 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,005/0,007854 = 0,6366 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,1)·0,6366²/(2·9,81) = 0,6197 m
Risposta
hf = 0,6197 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 119,9 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
19 = (13,5 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·19/25,6) = 3,816 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,816·0,03142 = 0,1199 m³/s = 119,9 L/s
Risposta
Q = 119,9 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 105,1 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·46 = 67,69 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 67,69/0,7 = 96,7 kW
Potenza elettrica
Pel = 96,7/0,92 = 105,1 kW
Risposta
Pel = 105,1 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 19,53 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,1859 = 11,53 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 8 + 11,53 = 19,53 m
Risposta
H = 19,53 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 2,8 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 1,5·1,3 = 1,95 m²
P = b + 2y = 1,5 + 2·1,3 = 4,1 m
R = A/P = 0,4756 m
Velocità
V = (1/0,012)·0,47562/3·0,00081/2 = 1,436 m/s
Portata
Q = A·V = 1,95·1,436 = 2,8 m³/s
Risposta
Q = 2,8 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,007432 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432
Risposta
S = 0,007432
Questo corrisponde a un dislivello di 7,432 m per chilometro.
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