Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 220 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 50 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 310 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,6 m/s in un tubo orizzontale lungo 50 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,6 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 78% eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 54 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 150 L/sH = 54 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba ha una larghezza di fondo di 3 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,5 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,002. Trova la portata Q in m³/s.

b = 3 my = 2,5 mz = 1,5n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1,2 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 143,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Risposta

F = 143,5 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 320,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,25·7,5 = 320,5 kN

Risposta

F = 320,5 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 219,7 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/75)² = 0,8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 0,8889²)/1000 = −0,2701 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−0,2701) = 219,7 kPa

Risposta

p₂ = 219,7 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 276,4 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−4,219) − 29,43 = 276,4 kPa

Risposta

p₂ = 276,4 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 16 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 1,631 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,631 = 16000 Pa = 16 kPa

Risposta

Δp = 16 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,748 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Perdita di carico totale

h_f = 18·0,1354 = 2,437 m

h_m = 2,3·0,1354 = 0,3114 m

Δz = h_f + h_m = 2,748 m

Risposta

Δz = 2,748 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 101,9 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·54 = 79,46 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 79,46/0,78 = 101,9 kW

Risposta

P_shaft = 101,9 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 23,49 kW

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0,3305 = 13,55 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 8 + 13,55 = 21,55 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·21,55/0,72 = 23,49 kW

Risposta

P_shaft = 23,49 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 31,55 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·2,5)·2,5 = 16,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,5·√(1 + 1,5²) = 12,01 m

R = A/P = 1,405 m

Velocità

V = (1/0,03)·1,405^2/3·0,002^1/2 = 1,87 m/s

Portata

Q = A·V = 16,88·1,87 = 31,55 m³/s

Risposta

Q = 31,55 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,007694 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Risposta

S = 0,007694

Questo corrisponde a un dislivello di 7,694 m per chilometro.

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