Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 33 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 80 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 33 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 220 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,4 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,4 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m. Il rendimento della pompa è del 65% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 100 L/sH = 34 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 18 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 400 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 40 L/sΔz = 18 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 6 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,9 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

b = 6 my = 0,9 mz = 1n = 0,025S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato largo 4 m deve convogliare 16 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1 m. n di Manning = 0,012. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 16 m³/sb = 4 my = 1 mn = 0,012

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 353,2 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN

Risposta

F = 353,2 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 113,3 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,75·7,5 = 113,3 kN

Risposta

F = 113,3 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 99,07 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,033/0,007854 = 4,202 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,033/0,004418 = 7,47 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(7,47² − 4,202²)/1000 = 80 + 19,07 = 99,07 kPa

Risposta

p₁ = 99,07 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 84,83 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(150/75)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−46,88) − 88,29 = 84,83 kPa

Risposta

p₂ = 84,83 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 4,228 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 4,228 m

Risposta

h_f = 4,228 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 1,756 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Perdita di carico totale

h_f = 6·0,2115 = 1,269 m

h_m = 2,3·0,2115 = 0,4865 m

Δz = h_f + h_m = 1,756 m

Risposta

Δz = 1,756 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 54,59 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·34 = 33,35 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 33,35/0,65 = 51,31 kW

Potenza elettrica

P_el = 51,31/0,94 = 54,59 kW

Risposta

P_el = 54,59 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 79,67 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (72 + 8)·0,2611 = 20,89 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 18 + 40,77 + 20,89 = 79,67 m

Risposta

H = 79,67 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 6,349 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·0,9)·0,9 = 6,21 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,9·√(1 + 1²) = 8,546 m

R = A/P = 0,7267 m

Velocità

V = (1/0,025)·0,7267^2/3·0,001^1/2 = 1,022 m/s

Portata

Q = A·V = 6,21·1,022 = 6,349 m³/s

Risposta

Q = 6,349 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003956 m/m

Geometria

A = b·y = 4·1 = 4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1 = 6 m

R = A/P = 0,6667 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·16/(4·0,7631) = 0,0629

S = 0,0629² = 0,003956

Risposta

S = 0,003956

Questo corrisponde a un dislivello di 3,956 m per chilometro.

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