Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 31 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 110 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 31 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 80 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 40 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 80 kPa (relativa)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 3 L/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 3 L/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 24 m mentre il suo albero assorbe 29,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 100 L/sH = 24 mP_shaft = 29,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 23 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 450 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1,2 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 58,86 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Risposta

F = 58,86 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 104,2 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Risposta

F = 104,2 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 133,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,031/0,01767 = 1,754 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,031/0,004418 = 7,017 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(7,017² − 1,754²)/1000 = 110 + 23,08 = 133,1 kPa

Risposta

p₁ = 133,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 8,873 m

Velocità di uscita

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9191)) = 13,19 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 13,19²/(2·9,81) = 8,873 m

Risposta

H = 8,873 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 2,256 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 2,256 m

Risposta

h_f = 2,256 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 4,979 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perdita di carico totale

h_f = 14,67·0,2611 = 3,83 m

h_m = 4,4·0,2611 = 1,149 m

Δz = h_f + h_m = 4,979 m

Risposta

Δz = 4,979 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 80,08 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·24 = 23,54 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 23,54/29,4 = 80,08%

Risposta

η = 80,08%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 30,19 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17,6 + 6)·0,3046 = 7,188 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 23 + 7,188 = 30,19 m

Risposta

H = 30,19 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,08064 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,0008^1/2 = 0,507 m/s

Portata

Q = A·V = 0,159·0,507 = 0,08064 m³/s

Risposta

Q = 0,08064 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,007694 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Risposta

S = 0,007694

Questo corrisponde a un dislivello di 7,694 m per chilometro.

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