Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 250 mm e diametro della gola di 125 mm. La pressione all’ingresso è 5 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 5 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 75 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 150 kPa e la velocità è 2,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 150 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,5 m/s in un tubo lungo 1000 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,5 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?
Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 54 m mentre il suo albero assorbe 12,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 20 L/sH = 54 mPshaft = 12,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 15 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 3 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 300 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 3ptank = 300 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 2,5 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,2 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.
b = 2,5 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,025S = 0,003
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato largo 5,5 m deve convogliare 17 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 0,9 m. n di Manning = 0,012. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 17 m³/sb = 5,5 my = 0,9 mn = 0,012
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 386,3 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN
Risposta
F = 386,3 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 4,667 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,5·9 = 349,6 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,5 + 6,75/(4,5·9) = 4,667 m
Risposta
ycp = 4,667 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 40,08 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·5000/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,266 m/s
v1 = 0,8165 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,01227·3,266 = 0,04008 m³/s = 40,08 L/s
Risposta
Q = 40,08 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 112,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−8,169) − 29,43 = 112,4 kPa
Risposta
p2 = 112,4 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 33,64 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,075)·1,5²/(2·9,81) = 33,64 m
Risposta
hf = 33,64 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 1,225 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s
V²/(2g) = 0,06529 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 14,67 + 3,1)·0,06529 = 1,225 m
Risposta
H = 1,225 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 82,13 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·54 = 10,59 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 10,59/12,9 = 82,13%
Risposta
η = 82,13%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 49,55 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 3)·0,3305 = 3,966 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 30,58 + 3,966 = 49,55 m
Risposta
H = 49,55 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 31,97 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2,2)·2,2 = 12,76 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 10,43 m
R = A/P = 1,223 m
Velocità
V = (1/0,025)·1,2232/3·0,0031/2 = 2,506 m/s
Portata
Q = A·V = 12,76·2,506 = 31,97 m³/s
Risposta
Q = 31,97 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,002851 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 5,5·0,9 = 4,95 m²
P = b + 2y = 5,5 + 2·0,9 = 7,3 m
R = A/P = 0,6781 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·17/(4,95·0,7718) = 0,0534
S = 0,0534² = 0,002851
Risposta
S = 0,002851
Questo corrisponde a un dislivello di 2,851 m per chilometro.
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